Úplný svaz

Technology

12 hours ago

Author

Úplný svaz je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima). Na rozdíl od svazu, kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.

Definice

Množinu X \,\. uspořádanou relací R \,\. +more nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.

( \forall Y \subseteq X) (\exist i,s \isin X) ( i = \inf\nolimits_R(Y) \land s = \sup\nolimits_R(Y) ) \,\!

Příklady a vlastnosti

Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň svaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny - a to je přesně to, o co jde v definici svazu).

Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.

Úplný svaz potenční algebry

Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.

Pokud je tedy X = \mathbb{P}(X_0) \,\. potenční množina a Y \subseteq X \,\. +more je nějakou množinou podmnožin X_0 \,\. * inf_{\subseteq}(Y) = \bigcap Y \,\. * sup_{\subseteq}(Y) = \bigcup Y \,\.

Svazy, které nejsou úplné

Úplný svaz musí mít největší prvek a nejmenší prvek - musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny X \,\. +more ).

Z toho vyplvývá, že například přirozená čísla nebo reálná čísla při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) - jedná se o dva příklady svazu, který není úplným svazem.

Zúplnění svazu reálných čísel

O reálných číslech \mathbb{R} \,\. víme, že se jedná o svaz, navíc jejich omezené množiny mají supremum a infimum. +more Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.

Uvažujme o množině, která vznikne z \mathbb{R} \,\. jejich rozšířením o dva prvky: +\infty \,\. +more je větší, než všechny čísla z \mathbb{R} \,\. a -\infty \,\. je menší, než všechna čísla z \mathbb{R} \,\. . (Díky tranzitivitě uspořádání platí také, že -\infty ).

Získali jsme množinu \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \,\. , která již je úplný svaz: * omezené množiny z \mathbb{R} \,\. +more mají supremum a infimum v \mathbb{R} \,\. * zdola neomezená množina z \mathbb{R} \,\. má infimum -\infty \,\. * shora neomezená množina z \mathbb{R} \,\. má supremum +\infty \,\. * množina obsahující -\infty \,\. má infimum -\infty \,\. * množina obsahující +\infty \,\. má supremum +\infty \,\.