Cesko.wiki Aritmetická míra
Author
Albert FloresAritmetická míra je statistický ukazatel, který se používá k měření polohy datového souboru. Je to aritmetický průměr hodnot, kterým jsou nějaké veličiny opatřeny. Aritmetická míra se získá tak, že se sečtou všechny hodnoty v datovém souboru a výsledek se vydělí počtem hodnot. Aritmetická míra je jedním ze základních popisných statistických ukazatelů a je velmi často používána při analýze dat. Pomocí aritmetické míry lze zjistit průměrnou hodnotu dané veličiny a porovnávat různé data mezi sebou. Je však třeba si uvědomit, že aritmetická míra může být ovlivněna extrémními hodnotami, které se v datovém souboru vyskytují. V takovém případě může být vhodné použít jiný statistický ukazatel, jako například medián. Celkově tedy aritmetická míra poskytuje obecný přehled o hodnotách datového souboru, ale není jediným ukazatelem, který by měl být brán v úvahu při analýze dat. Je třeba zohlednit i další statistické ukazatele a kontext, ve kterém jsou data používána.
Definice
Mějme měřitelný prostor (X, \mathcal{P}(X)), kde X je libovolná množina a \mathcal{P} značí potenční množinu (\mathcal{P}(X) je speciální případ σ-algebry na X). Na takovém prostoru definujeme aritmetickou míru pro A \in \mathcal{P}(X) takto:
\alpha(A) = \begin{cases} |A| & \mbox{pokud A je konečná množina} \\ \infty & \mbox{pokud A není konečná} \end{cases}
Vztah sumy a integrálu
Aritmetická míra umožňuje zavést sumu jako speciální případ integrálu (Lebesgueova). Jelikož je každá podmnožina \mathbb{N} měřitelná, tak pro každou funkci (resp. +more posloupnost) g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C} platí:.
\int_\mathbb{N} g \, \mathrm{d} \alpha = \sum_{n = 0}^{\infty} g(n) Je-li integrál definován.
Tento vztah je užitečný například při zavádění Lp prostoru na množině posloupností.