Aritmetický průměr

Technology

12 hours ago

Author

Aritmetický průměr je statistická veličina, která v jistém smyslu vyjadřuje typickou hodnotu popisující soubor mnoha hodnot. Aritmetický průměr se obvykle značí vodorovným pruhem nad názvem proměnné („\bar{x}“) , popř. řeckým písmenem μ. Definice aritmetického průměru je : \bar{x} = \frac{1}{n} \left ( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right ) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i, tzn. součet všech hodnot vydělený jejich počtem. V běžné řeči se obvykle obecným slovem průměr myslí právě aritmetický průměr.

Vlastnosti aritmetického průměru

\sum^{n}_{i=1}(x_{i} - \bar{x}) = 0 * y_{i} = kx_{i} + c \Rightarrow \bar{y}=k\bar{x} + c (linearita průměru), speciálně: ** y_{i} = x_{i} + c \Rightarrow \bar{y}=\bar{x}+c ** z_{i} = kx_{i} \Rightarrow \bar{z}=k\bar{x} * Dá se ukázat, že aritmetický (výběrový) průměr je maximálně věrohodným odhadem střední hodnoty pro normální rozdělení i kategorické rozdělení (speciálně tedy i pro Bernoulliho rozdělení).

Problémy průměru

Aritmetický průměr je zřejmě nejčastěji používaný statistický pojem, který se objevuje i v běžném lidském vyjadřování. S tím ovšem souvisí i fakt, že je velice často využíván chybně, či dokonce záměrně zneužíván.

Nejčastější chybou je aplikace aritmetického průměru tam, kde je na místě využít jinou statistiku. Např. +more průměrný počet ulic v české obci je 13, ale jen 31 z 6250 obcí (méně než 0,5 %) má průměrný počet ulic a většina obcí má méně než průměrný počet ulic. Jiný příklad: aritmetický průměr majetku občanů v americkém městě Redmond je velice vysoké číslo, což ovšem neznamená, že typický obyvatel tohoto města je bohatý. Tento fakt pouze odráží tu skutečnost, že v daném městě bydlí multimiliardář Bill Gates. Jinými slovy: jediná hodnota, která se velice výrazně odlišuje od ostatních, může ovlivnit hodnotu aritmetického průměru tak, že vyjadřuje jen zcela iluzorní údaje. Např. aritmetickým průměrem souboru { 1, 2, 2, 2, 3, 9 } je přibližně 3,2, přestože pět ze šesti hodnot tohoto souboru je menších. V obdobných případech je mnohem vhodnější použít pro vyjádření typické hodnoty medián (který je u této množiny roven dvěma, což je mnohem lepší popis typické hodnoty). Další možností je současně s průměrem uvést i směrodatnou odchylku, která je v tomto příkladu přibližně 2,9.

V některých situacích je pak použití aritmetického průměru jasnou chybou. Pokud např. +more cena akcií rostla první rok o 10 %, druhý rok o 30 % a třetí rok o 10 % klesla, bylo by chybou vypočítat aritmetický průměr (rovný (10+30+(−10))/3 = 10 %) a prezentovat ho jako „průměrný růst“. V tomto případě je totiž nutno použít geometrický průměr (z hodnot 1,10; 1,30; 0,90), který je zde roven 1,088 a odpovídá tedy průměrnému růstu o 8,8 % ročně.

Další běžná chyba spočívá v očekávání, že aritmetický průměr splňuje některé vlastnosti, i když tomu tak není. Například vůbec nemusí být pravdou, že přibližně polovina hodnot souboru je menších a polovina větších (pro ukázku viz první příklad). +more Tuto vlastnost má medián, aritmetický průměr obecně nikoliv.