Cesko.wiki Arkus kotangens
Author
Albert FloresGrafy funkcí arkus tangens a arkus kotangens Arkus kotangens je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci kotangens. Obvykle se značí arccotg x, ale používají se i značky arccot x a cot−1 x. Její hodnotou je úhel v obloukové míře z intervalu (0; ), popřípadě ve stupňové míře z intervalu (0°; 180°), jehož kotangens je x.
Na rozdíl od cyklometrických funkcí arcsin, arccos a arctg nebývá na kalkulačkách k dispozici, ale s využitím funkce arctg ji lze vypočítat podle #Vzorce|některého ze vzorců.
Definice
Funkce arccotg x je inverzní funkce k funkci cotg x, jejíž definiční obor byl omezen na interval (0; ). Díky tomuto omezení je výchozí funkce prostá, takže požadovaná inverzní funkce existuje.
V některých matematických programech, jakým je například Mathematica, se však využívá jiné definice arccotg x, kdy byl definiční obor cotg x omezen na interval (;) \ {0}. Při této definici je výsledná inverzní funkce lichá.
Vlastnosti
Funkce y = \mbox{arccotg }x v obloukové míře má následující vlastnosti:
| Definiční obor | \mathbb{R} |
|---|---|
| Obor hodnot | (0;\pi) |
| Omezenost | Je omezená |
| Monotonie | Je ryze klesající, a tedy prostá |
| Symetrie | Není sudá ani lichá, ale graf je souměrný podle středu (x, y) = (0, \tfrac{\pi}{2}) |
| Periodicita | Není periodická |
| Limity | \lim_{x \to -\infty} \mbox{arccotg }x = \pi \lim_{x \to +\infty} \mbox{arccotg }x = 0 |
| Inverzní funkce | x = \mbox{cotg }y (kotangens) |
| Derivace | { \mathrm{d} \over \mathrm{d}x } \, \mbox{arccotg }x = { -1 \over 1 + x^2 } |
| Integrál | \int \mbox{arccotg }x \; \mathrm{d}x = x \; \mbox{arccotg }x + \tfrac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C |
Vzorce
\mbox{arccotg }x = \tfrac{\pi}{2} - \mbox{arctg }x
\mbox{arccotg }(-x) = \pi - \mbox{arccotg }x
\mbox{arccotg }{1 \over x} = \begin{cases} \tfrac{\pi}{2} - \mbox{arccotg }x = \mbox{arctg }x & \text{pokud } x > 0 \\ \tfrac{3}{2}\pi - \mbox{arccotg }x = \pi + \mbox{arctg }x & \text{pokud } x