Arkus sekans

Grafy funkcí arkus sekans a arkus kosekans

Arkus sekans (psáno také jako arkussekans) je cyklometrická funkce. Značí se \operatorname{arcsec}\,x.

Definice

Funkce y=\arcsec x je inverzní k funkci x=\sec y\;\left( 0 \leq y \leq \pi,\;y\neq \frac{\pi}{2}\right); je definována pro x \in \left(-\infty,-1\right\rangle \cup \left\langle 1,+\infty\right)

Vlastnosti

Značení:	y=\arcsec x\;\; \qquad \left(\;\mbox{resp. }\quad \sec^{-1} x\;\right)
Definiční obor	\left(-\infty,-1\right\rangle\cup \left\langle 1,+\infty\right)
Obor hodnot	\left\langle 0,\frac{\pi}{2} \right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\pi \right\rangle
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze rostoucí na intervalu \left(-\infty,-1\right\rangle Je ryze rostoucí na intervalu \left\langle 1,+\infty\right) Není ryze rostoucí na svém definičním oboru, ale je prostá
Symetrie	Není lichá ani sudá, ale graf je souměrný podle středu (x, y) = \left(0, \tfrac{\pi}{2}\right)
Periodicita	Není periodická
Limity	\lim_{x \to \pm\infty} \arcsec x = \frac{\pi}{2}
Inverzní funkce	x = \sec y (sekans)
Derivace	{\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \, \arcsec x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}
Integrál	\int \arcsec x \,\mathrm{d}x = x \arcsec (x) - \frac{x}{|x

\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right| + C |- . +more Taylorova řada | \arcsec x = \frac{\pi}{2} - x^{-1} - \frac{1}{3} x^{-3} - \frac{3}{40} x^{-5} - \frac{5}{112} x^{-7} + \dots\qquad v okolí nekonečna |- . Významné hodnoty | \begin{array}{c|ccc} x & -2 & -\sqrt{2} & -\frac{2}{\sqrt{3}} & -1 & 1 &\frac{2}{\sqrt{3}} & \sqrt{2} & 2 \\ \hline \arcsec x & \frac{2\pi}{3} & \frac{3\pi}{4} & \frac{5\pi}{6} & \pi & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} \end{array} |}.

Vzorce

: \begin{array}{lcll} \arcsec x + \arccsc x & = & \frac{\pi}{2} \\ \arcsec x + \arcsec (-x) & = & \pi \\ \arcsec x + \arcsec y &=& \arcsec \left(\frac{xy}{1- xy\,\sqrt{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)} }\right) \\ \arcsec x - \arcsec y &=& \arcsec \left(\frac{xy}{1+ xy\,\sqrt{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)} }\right) \\

\end{array}

: \arcsec x = \arccos\left(\frac{1}{x}\right)

: \arcsec x = \int_1^x \frac{{\mathrm d}t}{t\,\sqrt{t^2-1}},\quad x\geq 1

: \arcsec x = \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} {x - \displaystyle \frac{2x} {3x^2 - \displaystyle \frac{2x^2} {5x^2 - \displaystyle \frac{12x^2} {7x^2 - \displaystyle \frac{12x^2} {9x^2- \dots} }}}}, \quad |x|>1

Graf

Graf funkce arkus sekans

Odkazy

Reference

Externí odkazy

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. .

Kategorie:Matematické funkce Kategorie:Cyklometrické funkce