Cesko.wiki Arkus sinus
Author
Albert FloresGrafy funkcí arkus sinus a arkus kosinus
Arkus sinus je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci sinus. Obvykle se značí \arcsin x, v anglické literatuře se taktéž používá \operatorname{asin\,} x či \sin^{-1} x. +more Její hodnotou je úhel v obloukové míře (radiány) z intervalu \left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle , jehož sinus je x.
Definice
Funkce y=\arcsin x je inverzní k funkci x=\sin y\;\left(-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}\right); je definována pro x \in \langle -1,1 \rangle .
Vlastnosti
| Značení: | y=\arcsin x\;\; \qquad \left(\;\mbox{resp. }\quad \operatorname{asin\, }x, \quad \sin^{-1} x\;\right) |
|---|---|
| Definiční obor | \langle -1,1 \rangle |
| Obor hodnot | \left\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right\rangle |
| Omezenost | Je omezená |
| Monotonie | Je ryze rostoucí \quad\Longrightarrow\quad je prostá |
| Symetrie | Je lichá, není sudá |
| Periodicita | Není periodická |
| Limity | \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1 \quad tj. +more v okolí nuly je \mbox{arcsin }x \approx x |
| Inverzní funkce | x = \sin y (sinus) |
| Derivace | (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} |
| Integrál | \int \arcsin x \,\mathrm{d}x = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C |
| Taylorova řada | \arcsin x = x + \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \frac{5}{112} x^7 + \dots\qquad |x |
| Významné hodnoty | \begin{array}{c|ccc} x & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 &\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \hline \arcsin x & -\frac{\pi}{2} & -\frac{\pi}{3} & -\frac{\pi}{4} & -\frac{\pi}{6} & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2} \end{array} |
Vzorce
: \begin{array}{lcll} \arcsin x + \arccos x & = & \frac{\pi}{2} \\ \arcsin x + \arcsin (-x) & = & 0 \\ \arcsin x + \arcsin y &=& \left\{ \begin{array}{rl} \arcsin \left(x\,\sqrt{1-y^2} + y\,\sqrt{1-x^2}\right), & xy \leq 0\;\;\mbox{nebo}\;\; x^2+y^2\leq 1 \\ \pi-\arcsin \left(x\,\sqrt{1-y^2} + y\,\sqrt{1-x^2}\right), & x>0,\,y>0,\,x^2+y^2> 1 \\ -\pi-\arcsin \left(x\,\sqrt{1-y^2} + y\,\sqrt{1-x^2}\right), & x 1 \end{array} \right. \\ \arcsin x - \arcsin y &=& \left\{ \begin{array}{rl} \arcsin \left(x\,\sqrt{1-y^2} - y\,\sqrt{1-x^2}\right), & xy \geq 0\;\;\mbox{nebo}\;\; x^2+y^2\leq 1 \\ \pi-\arcsin \left(x\,\sqrt{1-y^2} - y\,\sqrt{1-x^2}\right), & x>0,\,y 1 \\ -\pi-\arcsin \left(x\,\sqrt{1-y^2} - y\,\sqrt{1-x^2}\right), & x0,\,x^2+y^2> 1 \end{array} \right. +more \\ \end{array}.
: \begin{array}{lcll} \arcsin (\sin x) & = & x, & -\frac{\pi}{2}\leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin (\arcsin x) & = & x \end{array}
: \arcsin x = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}, \quad 0
: \arcsin x = \frac{x\, \sqrt{1-x^2}} {1 - \displaystyle \frac{1\cdot 2 \cdot x^2} {3 - \displaystyle \frac{1\cdot 2 \cdot x^2} {5 - \displaystyle \frac{3\cdot 4 \cdot x^2} {7 - \displaystyle \frac{3\cdot 4 \cdot x^2} {9- \displaystyle \frac{5\cdot 6 \cdot x^2} {11 - \dots } }}}}}, \quad |x|
Příklad použití
Mějme goniometrickou rovnici:
::: \begin{array}{rcl} 2\sin x & = & \sqrt{3} \\ \hline \sin x & = & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x & = & \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \hline x & = & \frac{\pi}{3} \end{array}
S ohledem na periodicitu funkce \sin x jsou řešením původní rovnice také hodnoty:
:: \begin{array}{rrrrrrrlr} \dots, & {\color{OliveGreen}{\frac{-11\pi}{3}}}, & {\color{OliveGreen}{\frac{ -5\pi}{3}}}, & \mathbf{\frac{\boldsymbol{\pi}}{3}}, & {\color{OliveGreen}{\frac{ 7\pi}{3}}}, & {\color{OliveGreen}{\frac{ 13\pi}{3}}}, & \dots & \qquad \mbox{tj. } \quad \color{OliveGreen}{x_{k}=}&\color{OliveGreen}{\frac{\pi}{3}+2k\pi},\; k\in\Z \\ \dots, & {\color{BrickRed}{\frac{-10\pi}{3}}}, & {\color{BrickRed}{\frac{ -4\pi}{3}}}, & {\color{BrickRed}{\frac{ 2\pi}{3}}}, & {\color{BrickRed}{\frac{ 8\pi}{3}}}, & {\color{BrickRed}{\frac{ 14\pi}{3}}}, & \dots & \qquad \mbox{tj. +more} \quad \color{BrickRed}{x_{k}=}&\color{BrickRed}{\frac{2\pi}{3}+2k\pi},\; k\in\Z \end{array}.
Graf
Vznikne překlopením grafu funkce y = \sin(x) podle osy I. a III. +more kvadrantu. * Bereme pouze interval kolem počátku, na kterém je funkce \sin(x) prostá, tedy v tomto případě rostoucí. * Interval \textstyle\left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle z definičního oboru sinu se stane oborem hodnot funkce x = \mathrm{arcsin}(y). * Obdobně obor hodnot sinu se naopak stane definičním oborem arkus sinu. Graf funkce arkus sinus. .
Odkazy
Reference
Externí odkazy
BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. .