Cesko.wiki Arkus tangens
Author
Albert FloresArkus tangens je matematická funkce, která je inverzní k funkci tangens. Výsledek arkového tangensu je úhel, který má za tangens danou hodnotu. Funkce se často používá v geometrii, fyzice a informatice, především při řešení trojúhelníků a přemísťování objektů v grafických programech. Funkce arkus tangens má obor hodnot (-π/2, π/2) a definiční obor (-∞, ∞). V článku jsou uvedeny vzorce pro výpočet arkového tangensu a také vlastnosti a využití této funkce.
Grafy funkcí arkus tangens a arkus kotangens Arkus tangens je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci tangens. Obvykle se značí arctg x nebo arctan x, v anglické literatuře se taktéž používá atan x či tan−1 x. Její hodnotou je úhel v obloukové míře z intervalu (-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}), popřípadě ve stupňové míře z intervalu (−90°; 90°), jehož tangens je x. Je to jedna z nejdůležitějších funkcí matematické analýzy.
Definice
Funkce arctg x je inverzní funkce k funkci tg x, jejíž definiční obor byl omezen na interval (-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}). Díky tomuto omezení je výchozí funkce prostá, takže požadovaná inverzní funkce existuje.
Vlastnosti
Funkce y = \mbox{arctg }x v obloukové míře je bijekcí mezi množinou reálných čísel \mathbb{R} a intervalem (-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}), což mimo jiné dokazuje, že každý interval má stejnou mohutnost jako množina reálných čísel.
Dále má tato funkce následující vlastnosti:
| Definiční obor | \mathbb{R} |
|---|---|
| Obor hodnot | (-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}) |
| Omezenost | Je omezená |
| Monotonie | Je rostoucí, a tedy prostá |
| Symetrie | Je lichá |
| Periodicita | Není periodická |
| Limity | \lim_{x \to -\infty} \mbox{arctg }x = -\tfrac{\pi}{2} \lim_{x \to +\infty} \mbox{arctg }x = \tfrac{\pi}{2} \lim\limits_{x \rightarrow 0} {\mbox{arctg }x \over x} = 1, takže v okolí nuly je \mbox{arctg }x \approx x |
| Inverzní funkce | x = \mbox{tg }y (tangens) |
| Derivace | {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} \, \mbox{arctg }x = { 1 \over {1+x^2}} |
| Integrál | \int \mbox{arctg }x \; \mathrm{d}x = x \; \mbox{arctg }x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C |
Vzorce
\mbox{arctg }x = \tfrac{\pi}{2} - \mbox{arccotg }x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \tfrac{\pi}{2} - \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
\mbox{arctg }(-x) = -\mbox{arctg }x
\mbox{arctg }{1 \over x} = \begin{cases} \tfrac{\pi}{2} - \mbox{arctg }x = \mbox{arccotg }x & \text{pokud } x > 0 \\ -\tfrac{\pi}{2} - \mbox{arctg }x = -\pi + \mbox{arccotg }x & \text{pokud } x
\tfrac{1}{2} \, \mbox{arctg }x = \mbox{arctg} \, {x \over 1 + \sqrt{1+x^2}}
2 \, \mbox{arctg }x \equiv \mbox{arctg} \, {2x \over 1-x^2} \pmod \pi, \quad x \ne \pm 1 Dosazením x = y do vzorce pro arctg x + arctg y
\mbox{arctg }x + \mbox{arctg }y \equiv \mbox{arctg} \, {x+y \over 1-xy} \pmod \pi, \quad xy \ne 1