Asociativita

Technology

12 hours ago

Author

Asociativita je v algebře vlastnost binární operace, spočívající v tom, že nezáleží, jak použijeme závorky u výrazu, kde je více operandů, v jakém pořadí budeme tedy tento výraz počítat.

Definice

Binární operace ∗ (tj. abstraktní operace se dvěma operandy symbolizovaná znakem ∗) je na množině S asociativní, jestliže platí

: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

pro každé x, y a z v S.

Příklady

Nejznámější příklady asociativních binárních operací jsou sčítání (a + b) a násobení (a . b) reálných čísel.

:(2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8) :(7×3)×2 = 21×2 = 42 = 7×6 = 7×(3×2)

Další ukázky asociativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání vektorů, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.

Mezi binární operace, které nejsou asociativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b) a umocňování (ab) čísel nebo vektorové násobení vektorů.

: 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 . :2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3

U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací - pak se někdy mluví o operacích asociativních zleva či asociativních zprava. Z předvedených příkladů je odčítání levě asociativní, výraz 10 − 5 − 3 se chápe jako (10 − 5) − 3, naopak umocňování je asociativní zprava, 2^{3^4} = 2^{\left(3^4\right)} (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná - stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}).