Bod uzávěru

Technology

12 hours ago

Author

Bod uzávěru podmnožiny A topologického prostoru X je v matematice libovolný prvek Cl(A), uzávěru množiny A.

Bod uzávěru množiny A je ekvivalentní s množiny A používaným v anglické literatuře pro takový bod x, jehož každé okolí obsahuje nějaký bod množiny A, tj. jestliže U je otevřená podmnožina X, taková, že x \in U, pak U \cap A \ne \varnothing.

Bod uzávěru a limitní bod

Definice limitního bodu požaduje, aby každé okolí bodu x obsahovalo alespoň jeden bod množiny A, který (na rozdíl od definice ) musí být různý od x. Každý limitní bod je tedy bodem uzávěru, ale opačné tvrzení neplatí. +more Bod uzávěru množiny A je limitním bodem množiny A nebo prvkem množiny A (nebo obojí). Bod uzávěru, který není limitním bodem, je izolovaným bodem.

Intuitivně, pokud si představíme otevřenou množinu A jako plochu uvnitř nějaké hranice (bez této hranice), uzávěr množiny A je množina A včetně této hranice.

Příklady

Pokud S je neprázdná podmnožina množiny reálných čísel \mathbb{R}, která je shora omezená, pak sup(S) je bodem uzávěru S. * Podmnožina S metrického prostoru M obsahuje všechny body uzávěru právě tehdy, když S je (sekvenčně) uzavřená v M. +more * Pro interval (a, b\rangle s obvyklou topologií reálné osy \mathbb{R} je a bodem uzávěru, který do uvedeného intervalu nepatří. * Pokud S je podmnožina topologického prostoru, pak limita konvergentní posloupnosti z S nemusí nutně patřit do S, ale vždy je bodem uzávěru množiny S. Nechť je taková posloupnost a nechť x je její limita. Z definice limity pak pro všechna okolí U bodu x existuje přirozené číslo takové, že pro všechna . Konkrétně, a také , pak x je bodem uzávěru množiny S. * V protikladu k předchozímu příkladu, limita konvergentní posloupnosti v S není nutně limitním bodem množiny S; například uvažujme {{math|1=S = { 0 } }} jako podmnožinu reálných čísel \mathbb{R}. Pak jediná posloupnost v S je konstantní posloupnost (0), jejíž limita je 0, ale 0 není limitním bodem množiny S, ale pouze bodem uzávěru množiny S.