Burali-Fortiho paradox

Technology

12 hours ago

Author

Burali-Fortiho paradox je poznatek publikovaný roku 1897, který spolu s dalšími výsledky podobného typu (označovanými jako paradoxy nebo antinomie) vedl ke krizi klasické naivní teorie množin a jejímu následnému nahrazení axiomatickým systémem. Burali-Fortiho paradox se týká ordinálních čísel.

Podstata paradoxu

Podle definice je ordinální číslo každá množina, která je ostře dobře uspořádána relací "býti prvkem" a navíc každý její prvek je zároveň její podmnožinou.

Uvažujme nyní na chvilku o množině \mathbb{O}n \,\. , která obsahuje všechna ordinální čísla. +more Taková množina je určitě ostře dobře uspořádaná relací \in a navíc každý svůj prvek - ordinální číslo - obsahuje určitě i jako podmnožinu. To ovšem znamená, že \mathbb{O}n \,\. je sama také ordinální číslo, které je větší než všechna ordinální čísla a tedy i než ona sama. To je ale samozřejmě nesmysl.

Řešení paradoxu

V době publikování byl Burali-Fortiho výsledek často zlehčován s tím, že se jedná o „příliš velkou“ množinu - na „rozumných“ množinách k něčemu podobnému docházet nemůže. Proto se také vžilo označení paradox, ačkoliv ve skutečnosti se jednalo o spor v klasické definici množiny jako „souboru objektů (prvků) vymezených pomocí operace náležení“.

Teprve později, společně s dalšími „paradoxy“, z nichž jako nejdůležitější se ukázal Russellův paradox, vedl tento výsledek ke kompletnímu přepracování základů teorie množin na axiomatickém základě - viz Zermelova-Fraenkelova teorie množin.

V axiomatické teorii množin se mi již žádným způsobem nepodaří zkonstruovat výše uvedenou množinu \mathbb{O}n \,\. - Burali-Fortiho výsledek je vlastně důkazem toho, že \mathbb{O}n \,\. +more není množina, ale vlastní třída.