Cantorova věta o průniku kompaktů

Cantorova věta o průniku kompaktů tvrdí: Nechť K_1 \supset K_2 \supset K_3 ... je posloupnost do sebe vnořených neprázdných kompaktů. Pak jejich průnik je neprázdná množina.

Důkaz

Zvolím posloupnost \{ x_n \} _{n=1}^{\infty} tak, že pro každé přirozené číslo i je x_i \in K_i. Díky tomu, že K_1 je kompakt, lze z této posloupnosti vybrat +moreC3. A1_posloupnost'>podposloupnost konvergující k x_0 \in K_1.

Dále si všimnu, že pro každé n \in \mathbb{N} leží všechny členy od jistého indexu této vybrané podposloupnosti uvnitř K_n (díky způsobu, jakým jsou do sebe kompakty vnořeny). To platí pro každé přirozené číslo n, tedy průnik až do nekonečna je neprázdný.

Související články

Georg Cantor

Literatura

Kategorie:Topologie