Dělení polynomu polynomem

Dělení polynomu polynomem se zbytkem je algoritmus dělení polynomu f(x) polynomem g(x), kde stupeň g(x) je menší než stupeň f(x). Algoritmus je podobný algoritmu dělení se zbytkem.

Mějme dva polynomy f(x) a g(x), kde g(x) je nenulový. Pak existují polynomy r(x) a z(x) takové, že

: f(x)=r(x)g(x)+z(x) a st(z).

Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Polynomu r(x) se říká částečný podíl, polynom z(x) je zbytek při dělení polynomu f(x) polynomem g(x).

Stupeň polynomu

Stupeň nulového polynomu je roven -1, stupeň nenulového polynomu je roven největšímu n takovému, že a_n je nenulové. Stupeň polynomu f(x) značíme st(f).

Algoritmus dělení polynomů

Algoritmus pro výpočet podílu a zbytku pracuje podobně jako algoritmus pro dělení čísel zapsaných v nějaké soustavě: postupně se dělí nejvyšší člen dělence, vypočítává se prozatímní zbytek a postup se pro něj opakuje, dokud se buď nezastavíme u nejmenšího členu, kde dělení dává smysl, nebo nenajdeme výsledek s nulovým zbytkem.

Ukažme si například, že

: \frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3} = x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x-3}.

Částečný podíl a zbytek po dělení lze nalézt v průběhu provádění následujících kroků:

1. Vydělíme první člen prvního polynomu prvním členem druhého polynomu, umístíme výsledek pod čarou \left( x^3 / x = x^2 \right).

: \begin{matrix} x^3 - 12x^2 + 0x - 42 \underline{\vert x-3}\\ \qquad\qquad\qquad\quad\; \vert x^2\\ \end{matrix}

2. Vynásobíme dočasný výsledek s dělitelem. Zapíšeme výsledek pod první polynom \left( x^2 \cdot \left( x-3 \right) = x^3 - 3x^2 \right).

: \begin{matrix} x^3 - 12x^2 + 0x - 42 \underline{\vert x-3}\\ x^3 \;\; - 3x^2 \qquad\qquad\;\; \vert x^2 \quad\; \\ \end{matrix}

3. Odečteme získaný výsledek z kroku 2 od celého prvního polynomu, zapíšeme výsledek pod čarou \left( x^3 - 12x^2 + 0x - 42 - \left( x^3 - 3x^2 \right) = - 9x^2 + 0x - 42 \right).

: \begin{matrix} x^3 - 12x^2 + 0x - 42 \underline{\vert x-3}\\ \underline{x^3 \;\; - 3x^2 \qquad\qquad\;\;} \vert x^2 \quad\; \\ - 9x^2 + 0x - 42 \;\; \end{matrix}

4. Opakujeme všechny předchozí kroky používajíce jako dělenec výraz pod čarou.

: \begin{matrix} x^3 - 12x^2 + \;\; 0x - 42 \vert x-3 \quad \\ \underline{x^3 \;\; - 3x^2 \qquad\qquad\;\;\;\;} \overline{\vert x^2 - 9x} \\ - 9x^2 \;\; + 0x - 42 \quad\;\; \\ \underline{- 9x^2 + 27x \qquad\;} \quad\;\; \\ \quad\; - 27x - 42 \end{matrix}

5. Opakujeme krok 4.

: \begin{matrix} x^3 - 12x^2 + \;\; 0x - 42 \vert x-3 \qquad\quad\; \\ \underline{x^3 \;\; - 3x^2 \qquad\qquad\;\;\;\;} \overline{\vert x^2 - 9x - 27} \\ - 9x^2 \;\; + 0x - 42 \qquad\quad\;\;\; \\ \underline{- 9x^2 + 27x \qquad\;} \qquad\quad\;\;\; \\ - 27x - 42 \quad \\ \underline{- 27x + 81} \quad \\ \quad\; - 123 \end{matrix}

6. Algoritmus zde končí.

Znamená to, že polynom r(x) = x^2 - 9x - 27 je částečný podíl a z(x) = - 123 je zbytek po dělení.

Dělitelnost polynomů

Jestliže zbytek při dělení polynomu f(x) polynomem g(x) je nulový polynom, říkáme, že polynom g(x) dělí polynom f(x), nebo že polynom f(x) je dělitelný polynomem g(x), nebo také, že polynom g(x) je dělitelem polynomu f(x).

Kořen polynomu

Prvek a se nazývá kořen polynomu f(x), jestliže platí f(a) = 0. Prvek a je kořenem polynomu f(x) právě tehdy, když polynom (x-a) dělí polynom f(x).

Praktické použití

Algoritmus se používá například při integrování racionálních lomených funkcí, když se počítá rozklad na parciální zlomky.

Reference

Kategorie:Polynomy Kategorie:Algebra Kategorie:Zlomky