Faktorokruh

Faktorokruh je pojem z oboru matematiky, přesněji z abstraktní algebry, kterým se označuje okruh zkonstruovaný určitým způsobem z jiného okruhu a jeho ideálu.

Jedná se o postup podobný konstrukci faktorové grupy v teorii grup (obojí je totiž speciálním případem faktoralgebry), naopak koncept konstrukce podílového tělesa pro obor integrity je navzdory podobnému názvu odlišnou záležitostí. Konstrukce podílového tělesa k danému oboru integrity řeší neexistenci inverzních prvků vzhledem k násobení (například lze takto konstruovat těleso racionálních čísel z oboru integrity celých čísel), zatímco konstrukce faktorokruhu je využívána například při konstrukci kořenových nadtěles pro konkrétní ireducibilní polynom (například konstrukci nadtělesa komplexních čísel k tělesu reálných čísel).

Vytvoření faktorokruhu

Nechť je dán okruh R a ideál I tohoto okruhu. Pak je možné na R definovat relaci \equiv následovně: : a \equiv b tehdy a jen tehdy když a - b \in I Poměrně přímočaře lze dokázat, že tato relace je nejen ekvivalencí, ale dokonce i kongruencí - s třídami této ekvivalence je tedy možné počítat jako s prvky okruhu. +more Třída obsahující prvek a bývá značena a+I. Třídy ekvivalence spolu s operacemi: * (a+I)+(b+I)=(a+b)+I * (a+I)(b+I)=(ab)+I tvoří okruh, ten se nazývá faktorovým okruhem neboli faktorokruhem R modulo I a obvykle se značí R/I. Z původního okruhu R existuje vždy zobrazení na okruh R/I definované předpisem p(a)=a+I. Jedná se o okruhový homomorfismus, říká se mu přirozený homomorfismus a je surjektivní. Jeho jádrem je právě ideál I.

Vlastnosti

Je-li R komutativní okruh, je i R/I komutativní. * Je-li R\neq \{0\} komutativní okruh a I je maximální ideál, pak je R/I tělesem. +more * Je-li R\neq \{0\} komutativní okruh a I je prvoideálem, pak je R/I oborem integrity. * Ideály faktorokruhu R/I odpovídají ideálům okruhu R obsahujícím I.

Příklady

Faktorokruh z nevlastních ideálů: R/\left\{0\right\} je isomorfní samotnému R, zatímco R/R je isomorfní nulovému okruhu. * V okruhu celých čísel \mathbb{Z} je podmnožina sudých čísel ideálem, který můžeme značit 2\mathbb{Z}. +more Faktorokruh \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} má jen dva prvky, 0+2\mathbb{Z} (na který přirozený homomorfismus zobrazuje sudá čísla) a 1+2\mathbb{Z} (na který přirozený homomorfismus zobrazuje lichá čísla). Lze snadno ověřit, že tento okruh je konečným tělesem, konkrétně je izomorfní dvouprvkovému tělesu GF(2). * Obecně platí, že prvotělesa konečných těles, tedy tělesa známé z modulární aritmetiky a někdy značená \mathbb{Z}_p, jsou vlastně faktorokruhy \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} * Pro okruh mnohočlenů R[x], tedy okruh mnohočlenů s koeficienty z reálných čísel, a k němu ideál I=\left\langle x^2+1\right\rangle, tedy ideál tvořený násobky mnohočlenu x^2+1, je vzniklý faktorový okruh izomorfní tělesu komplexních čísel. * Předchozí případ lze zobecnit: Faktorokruhy lze používat k vytvoření tělesových rozšíření, přesněji k vytvoření kořenových nadtěles vzhledem k danému tělesu a mnohočlenu, který je v něm ireducibilní. * Speciálním případem konstrukce nadtěles jako faktorokruhů je konstrukce konečných těles: Konečné těleso GF(p^n) lze zkonstruovat jako faktorokruh GF(p)[x]/f(x), kde f(x) je mnohočlen stupně n, který je nad GF(p) ireducibilní.

Kategorie:Teorie okruhů