Formální derivace

V matematice, formální derivace označuje operaci nad prvky okruhu polynomů či okruhu mocninných řad, která se chová jako derivace z diferenciálního počtu. Ačkoli vypadají obdobně, výhodou formální derivace je, že nevyžaduje k definici limitní přechod, který v některých okruzích není možno použít. Mnoho vlastností derivací z diferenciálního počtu platí i pro formální derivace, některé naopak ani nedávají smysl. Základním použitím formálních derivací je oddělení kořenů polynomu různé násobnosti.

Definice

Pro daný komutativní okruh R nechť A = R[x] je okruh polynomů nad R. Pak formální derivace je operace nad prvky okruhu A, kde pro

:f(x)\,=\sum_{i=0}^n a_i x^i

je formální derivace

:f'(x) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i a_i x^{i - 1},

což přesně odpovídá vztahům pro polynomy nad reálnými či komplexními čísly.

(Běžně značíme součet i konstantních sčítanců s výrazem i\cdot s, v tomto případě uvádíme součet abychom předešli záměně s násobením v okruhu R.)

Vlastnosti

Není těžké ověřit, že:

* Formální derivace je lineární: pro libovolné dva polynomy f(x), g(x) a prvky r, s okruhu R, platí

::(r \cdot f + s \cdot g)'(x) = r \cdot f'(x) + s \cdot g'(x).

* Formální derivace splňuje pravidlo derivace součinu:

::(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).

Důkazy

(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=(r\sum_i f_i x^i+s\sum_i g_i x^i)'= (\sum_i (rf_i+sg_i) x^i)'= =(\sum_i \sum_{j=1}^i (rf_i+sg_i) x^{i-1})= r\sum_i f_i x^{i-1}+s\sum_i g_i x^{i-1}=r \cdot f'(x) + s \cdot g'(x).

(f \cdot g)'(x) = (\sum_i\sum_j f_ig_jx^{i+j})' = \sum_i\sum_j\sum_{k=1}^{i+j} f_ig_jx^{i+j-1}= =\sum_i\sum_j(\sum_{k=1}^{i} f_ig_jx^{(i-1)+j}+\sum_{k=1}^{j} f_ig_jx^{i+(j-1)})=f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).

Vztah k derivaci z diferenciálního počtu

Pokud je okruh R komutativní, existuje alternativní ekvivalentní definice formální derivace, která mnohem víc připomíná definici z diferenciálního počtu. Prvek Y-X okruhu R[X,Y] dělí Yn - Xn pro libovolné nezáporné celé n, a proto dělí f(Y) - f(X) pro libovolný polynom f s jednou proměnnou. +more Pokud označíme výsledný podíl (v R[X,Y]) pomocí g:.

:g(X,Y) = \frac{f(Y) - f(X)}{Y - X},

pak není těžké ověřit, že g(X,X) (v R[X]) dává stejnou definici jako formální derivace f definovaná výše.

Tato formulace formální derivace je použitelná i pro mocninné řady, (za předpokladu, že okruh R skalárů je komutativní).

Definice použitelná i pro nekomutativní okruhy

Nechť pro r\in R je r'=0, nechť x'=1. Dodefinujme derivaci pro výrazy tak, aby (a+b)'=a'+b' a (a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.

Je potřeba dokázat, že takto definovaná derivace dává stejné výsledky nezávisle na tom, jak spočteme daný výraz, tedy, že je kompatibilní se všemi axiomy rovnosti. * (a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)', * ((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+(b+c)'=(a+(b+c))', * (a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'= :=(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)', * ((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b'c)+(ac'+bc')= :=\cdots=(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots=(a'c+ac')+(b'c+bc')= :=(ac)'+(bc)'=(ac+bc)' a distributivita z druhé strany symetricky.

Linearita je při tomto přístupu samozřejmostí.

Vztah pro derivaci polynomu (ve standardním tvaru pro komutativní okruhy) je přímým důsledkem: (\sum_i a_ix^i)'=\sum_i (a_ix^i)'=\sum_i ((a_i)'x^i+a_i(x^i)')=\sum_i(0x^i+a_i(\sum_{j=1}^ix^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum_i\sum_{j=1}^i a_ix^{i-1}.

Aplikace pro separaci podpolynomů různých násobností

Je-li polynom p(x) možno napsat ve tvaru p(x)=\prod_{i=1}^k (p_i(x))^i, kde polynomy p_i jsou nesoudělné. Pak je možno polynomy p_i postupně od posledního najít vícenásobným použitím největšího společného dělitele polynomu s jeho formální derivací (není potřeba aby polynomy byly nad reálnými či komplexními čísly).

Kategorie:Abstraktní algebra