Fourierova řada

Ortogonální rozklad funkce

Mějme lineární podprostor \rho dimenze n Hilbertova prostoru nekonečné dimenze o ortonormální bázi E:

\rho \subset H \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,dim H = \infty \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\dim\rho = n \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,f \in H \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,f_{n} \in \rho \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,n = 1,2,3,\cdots \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,E = e_1,e_2,e_3,\cdots

pak pro Euklidovskou vzdálenost funkcí f a f_{n} platí:

\left | f - f_{n} \right|^{2} = \left( f - f_{n} \right) \cdot \left( f - f_{n} \right) = f \cdot f - 2f \cdot f_{n} + f_{n} \cdot f_{n} = f \cdot f - 2f \cdot \sum_{i}^{}{s_{i}e_{i}} + \sum_{i}^{}s_{i}^{2} =

= f \cdot f + \sum_{i}^{}\left( {f \cdot e}_{i} \right)^{2} - 2\sum_{i}^{}{s_{i}\left( f \cdot e_{i} \right)} + \sum_{i}^{}s_{i}^{2} - \sum_{i}^{}\left( {f \cdot e}_{i} \right)^{2} = f \cdot f + \sum_{i}^{}\left( \left( f \cdot e_{i} \right) - s_{i} \right)^{2} - \sum_{i}^{}\left( {f \cdot e}_{i} \right)^{2} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, kde i = 1,\cdots,n

a

s_{i} = f \cdot e_{i} \Rightarrow \left| f - f_{n} \right|^{2} = f \cdot f - \sum_{i}^{}\left( {f \cdot e}_{i} \right)^{2} = \left| f \right|^{2} - \left| f_{n} \right|^{2} \Rightarrow \left| f \right|^{2} \geq \left| f_{n} \right|^{2} \Rightarrow f \sim f_{n}

kde s_1,\cdots,s_n jsou souřadnice f_{n} vzhledem k E, pak můžeme aproximovat funkci f následující řadou:

\lim_{n \rightarrow \infty}\left| f - f_{n} \right|^{2} = 0 \Rightarrow \left| f \right|^{2} \approx \left| f_{n} \right|^{2} \Rightarrow f \approx f_{n} = \sum_{i}^{}{\left( f \cdot e_{i} \right)\ e_{i}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, kde i = 1,\cdots,n

Fourierova řada v goniometrickém tvaru

Množina \left\{ \frac{1}{\sqrt{T}},{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\cos}\omega t,{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\sin}\omega t,{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\cos}{2\omega t},{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\sin}{2\omega t},{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\cos}{3\omega t},{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{T}}\sin}{3\omega t},\cdots \right\} tvoří ortonormální bázi výše uvedeného Hilbertova prostoru nekonečné dimenze, pak funkci f můžeme aproximovat pomocí následující goniometrické řady:

:f\left( t \right) \approx \sum_{0}^{\infty}{a_{n}\cos n\omega t + b_{n}\sin n\omega t} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,n \mathbb{\in N}

kde a_{0} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} {f\left(t \right) \,dt} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} {f\left(t \right) \cos n\omega t \, \,dt} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} {f\left(t \right) \sin n\omega t \, \,dt} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, pro n = 1,2,3,\cdots.

Koeficient b_{0} nemá smysl uvažovat, neboť b_{0} \sin 0 = 0.

Pokud se dvě integrovatelné funkce liší v konečném počtu bodů, tak je jasné, že mají stejnou Fourierovu řadu. Z toho důvodu nepíšeme mezi funkcí f a její Fourierovou řadou rovnítko. +more Pokud je však funkce vybrána z obecnější množiny než jen z množiny integrovatelných funkcí, tak se jí Fourierova řada může rovnat. Například platí následující tvrzení: pokud je funkce f ohraničená a po částech spojitá a má i ohraničenou po částech spojitou první derivaci, tak její Fourierova řada má v každém bodě součet, a ten je roven aritmetickému průměru pravé a levé limity této funkce v tomto bodě. Tedy v bodě spojitosti je to hodnota funkce. Fourierova řada spojité funkce nemusí (v některém bodě) vůbec konvergovat.

V praxi se funkce f aproximuje konečným rozvojem, kde sčítáme jen několik prvních členů, čímž se genericky s narůstajícím počtem členů zvyšuje přesnost této aproximace.

Příklad

Exponenciála +morepng|náhled'>Sudá a lichá funkce Mějme exponenciálu zúženě definovanou na intervalu a vytvořme z ní sudou a lichou periodickou funkci s periodou T=2 na intervalu a úhlovou frekvencí \omega=\pi, pak můžeme uvedenou sudou a lichou funkci aproximovat následujícími řadami:.

sudá funkce:

a_{0} = \frac{1}{2} (\int_{-1}^{0} {e^{-t} \,dt} + \int_{0}^{1} {e^{t} \,dt}) = e-1

a_{n} = \int_{-1}^{0} {e^{-t} \cos n\pi t \, \,dt} + \int_{0}^{1} {e^{t} \cos n\pi t \, \,dt} = 2 \frac{(-1)^{n}e-1}{(n\pi)^{2}+1}

b_{n} = 0

kde n = 1,2,3,\cdots

:f\left( t \right) \approx (e-1) + 2\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}e-1}{(n\pi)^{2}+1} \cos n\pi t}

lichá funkce:

a_{0} = 0

a_{n} = 0

b_{n} = - \int_{-1}^{0} {e^{-t} \sin n\pi t \, \,dt} + \int_{0}^{1} {e^{t} \sin n\pi t \, \,dt} = -2n\pi \frac{(-1)^{n}e-1}{(n\pi)^{2}+1}

kde n = 1,2,3,\cdots

:f\left( t \right) \approx -2\sum_{n=1}^{\infty}{n\pi \frac{(-1)^{n}e-1}{(n\pi)^{2}+1} \sin n\pi t}

Poznamenejme, že Fourierova řada sudé resp. liché funkce obsahuje pouze členy s funkcí cosinus resp. sinus.

Fourierova řada v exponenciálním tvaru

Z následujících vztahů:

e^{in\omega t} + e^{-in\omega t} = \left(\cos n\omega t + i\sin n\omega t \right) + \left(\cos n\omega t - i\sin n\omega t \right) = 2\cos n\omega t

e^{in\omega t} - e^{-in\omega t} = \left(\cos n\omega t + i\sin n\omega t \right) - \left(\cos n\omega t - i\sin n\omega t \right) = i2\sin n\omega t

a

a_{n}\cos n\omega t + b_{n}\sin n\omega t = \frac{a_{n}}{2}\left(e^{in\omega t} + e^{-in\omega t} \right) - i\frac{b_{n}}{2}\left(e^{in\omega t} - e^{-in\omega t} \right) =

= \frac{1}{2}\left(a_{n} - ib_{n} \right)e^{in\omega t} + \frac{1}{2}\left(a_{n} + ib_{n} \right)e^{-in\omega t} = \left({c_{n}e}^{in\omega t} + {\overline{c}}_{n}e^{-in\omega t} \right)

dostaneme:

2c_{n} = \left(a_{n} - ib_{n} \right) = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f\left(t \right)\left(\cos n\omega t - i\sin n\omega t \right) dt} \Rightarrow c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{f\left(t \right)\ e^{-in\omega t} dt}

2{\overline{c}}_{n} = \left(a_{n} + ib_{n} \right) = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}{f\left(t \right)\left( \cos n\omega t + i\sin n\omega t \right) dt} \Rightarrow {\overline{c}}_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{f\left(t \right)\ e^{in\omega t} dt},

takže potom můžeme vyjádřit aproximaci funkce f pomocí následující exponenciální řady:

:f\left(t \right) \approx \sum_{-\infty}^{\infty}c_{n}e^{in\omega t} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,n \mathbb{\in Z} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, kde a_{0} = c_{0} = \overline{f} je střední hodnota funkce f.

Parsevalova rovnost

Nechť

:f\left( t \right) \approx \sum_{0}^{\infty}{a_{n}\cos n\omega t + b_{n}\sin n\omega t} = \sum_{-\infty}^{\infty}c_{n}e^{in\omega t} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,n \mathbb{\in Z}.

Pak platí následující Parsevalova rovnost, vyjadřující, že efektivní hodnota aproximované funkce (střední hodnota jejího čtverce) je rovna sumě kvadrátů koeficientů aproximující Fourierovy řady:

:\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f^2(t) \,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} \left(a_n^2 + b_n^2 \right) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n^2.

Jméno tomuto tvrzení dal francouzský matematik Marc-Antoine Parseval. Pokud levou stranu rovnice interpretujeme jako čtverec normy funkce f, lze Parsevalovu rovnost číst jako zobecnění Pythagorovy věty na nekonečněrozměrný prostor funkcí.

Fourierova transformace

Ze vztahu doby periody blížící se nekonečnu a úhlové frekvence sítě: :T\omega = 2\pi \Rightarrow \left(T \rightarrow \infty \Rightarrow \omega \rightarrow 0 \right) \Rightarrow n \omega \equiv \omega \equiv d\omega

lze zavést užitím limitních přechodů spojitou Fourierovu transformaci: :\lim_{T \rightarrow \infty}{Tc_{n}} = \lim_{T \rightarrow \infty}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left(t \right)e^{-in\omega t}dt}} = \int_{-\infty}^{\infty}{f\left(t \right)\ e^{-i\omega t}dt} = F\left(\omega \right)

a naopak inverzní spojitou Fourierovu transformaci:

:f\left(t \right) = \lim_{T \rightarrow \infty}{\sum_{-\infty}^{\infty}{T\frac{\omega}{2\pi}c_{n}e^{in\omega t}}} = \frac{1}{2\pi}\sum_{-\infty}^{\infty}{\lim_{T \rightarrow \infty}{Tc_{n}e^{in\omega t}\omega}} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F\left(\omega \right)\ e^{in\omega t}\text{dω}}

Odkazy

Literatura

Související články

Fourierova transformace * Rychlá Fourierova transformace

Externí odkazy

[url=https://tomasboril.cz/fourierseries3d/cz/]Fourier Series 3D - interaktivní demonstrace principu Fourierových řad[/url] HTML5 a JavaScript: Unikátní interaktivní 3D zobrazení propojující časovou, frekvenční, amplitudovou a fázovou osu.

Kategorie:Matematická analýza