Geometrické zobrazení

Geometrické zobrazení je zobrazení, které každému bodu A útvaru U přiřazuje právě jeden bod A^\prime útvaru U^\prime.

Bod A je tzv. vzor a bod A^\prime se označuje jako obraz.

Klasifikace geometrických zobrazení

Podle zachovávajících se vlastností

Podle toho, které vlastnosti se při geometrickém zobrazení zachovávají a které se mění, lze geometrická zobrazení rozdělit na:

* shodné zobrazení - zachovávají velikost a tvar; Patří sem např. posunutí, rotace apod. +more - shodná zobrazení lze považovat za speciální případ podobných zobrazení, * podobné zobrazení, zachovávají tvar, ale nikoliv nezbytně velikost; např. stejnolehlost - podobná zobrazení lze považovat za speciální případ afinních zobrazení, * afinní zobrazení - zobrazení zachovávající rovnoběžnost přímek; např. zkosení, * projektivní zobrazení - zobrazení zachovávající kolineárnost bodů, např. středové promítání, * topologické zobrazení - zachovává se pouze příslušnost bodu k dané křivce.

Podle dimenze prostoru

Geometrická zobrazení lze rozdělit podle dimenze transformovaného prostoru a podle toho, zda vzor i obraz mají stejnou dimenzi.

Dimenze vzoru i obrazu jsou stejné

lineární - např. posunutí bodu po přímce * rovinné - oproti lineárním obsahuje některá další zobrazení, např. +more rotace kolem bodu * prostorové * vícedimenzionální.

Dimenze vzoru a obrazu jsou různé

projektivní zobrazení - do této skupiny lze zařadit např. rovnoběžné promítání, axonometrie, perspektiva, a jiné metody, často využívané např. +more v deskriptivní geometrii.

Invariantní útvar

Pokud pro nějakou dvojici bodů A, A^\prime platí A=A^\prime, pak bod A označujeme jako samodružný. Jestliže platí U=U^\prime, pak útvar U označíme jako samodružný (invariantní).

Involutorní zobrazení

Máme-li dva body A, B, pro které při daném zobrazení platí, že bod B je obrazem bodu A a současně je bod A obrazem bodu B, pak říkáme, že body A, B tvoří involutorní dvojici.

Zobrazení, které není identita a při kterém každý bod patří involutorní dvojici, nazýváme involutorním zobrazením (involucí).

Opakovaná involuce (tedy složená sama se sebou) dává identitu. Příkladem jsou souměrnosti v (euklidovské) rovině a prostoru, např. +more zrcadlení.

Odkazy

Související články

Zobrazení (matematika) * Geometrie

Externí odkazy

Kategorie:Geometrie