Haarova míra

Haarova míra v matematické analýze je zobecněním Lebesgueovy míry na kompaktní grupy. Na lokálně kompaktní topologické grupě je invariantní mírou jejích podmnožin, a to umožňuje definovat integrál pro funkce na těchto grupách.

Tuto míru zavedl Alfréd Haar v roce 1933, její speciální případ pro Lieovy grupy však definoval již Adolf Hurwitz v roce 1897 pod názvem invariantní integrál. Haarova míra se používá v mnoha oblastech analýzy, teorie čísel, teorie grup, teorie reprezentací, statistiky, teorie pravděpodobnosti a ergodické teorie.

Levá Haarova míra lokálně kompaktní grupy G je regulární borelovská míra \mu, která je invariantní vůči levé translaci a pozitivní na neprázdných otevřených podmnožinách G. Invariance vůči levé translaci znamená, že pro každou borelovskou podmnožinu A a každý prvek grupy g platí \mu(gA) = \mu(A), neboli zapsáno pomocí integrálu

:\int_G f(gx)\,\mathrm d\mu=\int_G f(x)\,\mathrm d\mu

pro všechny integrovatelné funkce f a všechny prvky grupy g.

Analogicky lze definovat pravou Haarovu míru invariantní vůči pravé translaci, tj. \mu(Ag) = \mu(A). +more Levá i pravá Haarova míra existují v každé lokálně kompaktní topologické grupě a jsou jednoznačné až na multiplikativní faktor. Pokud se sobě rovnají, což nastává například v případě abelovských grup, nazýváme G unimodulární grupou.

Poznámky

Reference

Další literatura

Diestel, Joe; Spalsbury, Angela (2014), The joys of Haar measure, Graduate Studies in Mathematics, 150, Providence, RI: American Mathematical Society, MR 3186070 * Loomis, Lynn (1953), An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co. +more * Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1963), Abstract harmonic analysis. Vol. I: Structure of topological groups. Integration theory, group representations. , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 115, Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, MR 0156915 * Nachbin, Leopoldo (1965), The Haar Integral, Princeton, NJ: D. Van Nostrand * André Weil, Basic Number Theory, Academic Press, 1971.

Kategorie:Harmonická analýza Kategorie:Míry (teorie míry) Kategorie:Teorie Lieových grup