Hermitovská transpozice

Matice hemitovsky sdružená ke komplexní matici \boldsymbol{A} typu m \times n je matice typu n \times m získaná transpozicí \boldsymbol{A} a záměnou každého z čísel za komplexně sdružené číslo. Značí se \boldsymbol{A}^\mathrm{H}, \boldsymbol{A}^* nebo \boldsymbol{A}', a ve fyzice často \boldsymbol{A}^{\dagger}. Nazývá se také hemitovská transpozice nebo komplexně sdružená transpozice.

Hermitovská transpozice reálných matice se shoduje s běžnou transpozicí \boldsymbol{A}^\mathrm{H} = \boldsymbol{A}^\mathsf{T}.

Definice

Hermitovská transpozice matice \boldsymbol{A} typu m \times n je formálně definována \bigl(\boldsymbol{A}^\mathrm{H}\bigr)_{ij} = \overline{a_{ji}} pro 1 \le i \le n a 1 \le j \le m, kde pruh značí komplexně sdružené číslo.

Tuto definici lze také napsat jako \boldsymbol{A}^\mathrm{H} = \overline{\boldsymbol{A}}^\mathsf{T} = \overline{\boldsymbol{A}^\mathsf{T}}, kde \boldsymbol{A}^\mathsf{T} označuje transpozici a \overline{\boldsymbol{A}} označuje matici s komplexně sdruženými prvky.

Hermitovská transpozice matice \boldsymbol{A} může být značena některým z těchto symbolů:

* \boldsymbol{A}^\mathsf{H}, běžně používaný v lineární algebře * \boldsymbol{A}^*, běžně používaný v lineární algebře * \boldsymbol{A}^\dagger, běžně používané v kvantové mechanice * \boldsymbol{A}^+, ačkoli tento symbol se běžněji používá pro Mooreovu-Penroseovu pseudoinverzi

Někdy \boldsymbol{A}^* označuje matici pouze s komplexními sdruženými prvky a bez transpozice.

Ukázka

Hermitovskou transpozice následující matice \boldsymbol A lze získat ve dvou krocích. : \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & -2 - i & 5 \\ 1 + i & i & 4-2i \end{pmatrix}

Nejprve je matice transponována:

: \boldsymbol{A}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix} 1 & 1 + i \\ -2 - i & i \\ 5 & 4-2i\end{pmatrix},

a potom je každý její prvek zaměněn za své komplexně sdružené číslo:

: \boldsymbol{A}^\mathrm{H} = \begin{pmatrix} 1 & 1 - i \\ -2 + i & -i \\ 5 & 4+2i\end{pmatrix}.

Poznámky

Čtvercová matice \boldsymbol{A} se nazývá

* Hermitovská nebo samosdružená pokud \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^\mathrm{H}. * Normální, pokud \boldsymbol{A}^\mathrm{H} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^\mathrm{H}. +more * Unitární pokud \boldsymbol{A}^\mathrm{H} = \boldsymbol{A}^{-1}, ekvivalentně \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathrm{H} = \boldsymbol{A}^\mathrm{H}\boldsymbol{A} = \mathbf{I}.

I když \boldsymbol{A} není čtvercová, obě matice \boldsymbol{A}^\mathrm{H}\boldsymbol{A} a \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\mathrm{H} jsou jak hermitovské, tak ve skutečnosti pozitivně semi-definitní.

Hermitovsky "sdružená" transpozice \boldsymbol{A}^\mathrm{H} se v komplexní analýze někdy nazývá adjungovaná matice, ale ta by neměla být zaměňována s adjungovanou maticí \operatorname{adj}(\boldsymbol{A}) z lineární algebry.

Hermitovská transpozice matice \boldsymbol{A} se reálnými prvky redukuje na transpozici \boldsymbol{A}, protože komplexně sdruženým číslem k reálnému číslu je číslo samotné.

Motivace

Zavedení hermitovské transpozice může být motivováno tím, že komplexní čísla mohou být reprezentována reálnými maticemi typu 2 \times 2, s obvyklým sčítáním a násobením matic:

: a + \mathrm ib \equiv \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}.

Uvedené nahrazení libovolného komplexního čísla z reálnou maticí řádu 2 je lineární transformace na Argandově diagramu (nahlíženo jako na reálný vektorový prostor \mathbb{R}^2 ), ovlivněné komplexním z - násobením na \mathbb{C} .

Každou komplexní matici typu m \times n pak lze reprezentovat reálnou maticí 2m \times 2n. Obyčejná transpozice této větší reálné matice odpovídá hermitovské transpozici původní komplexní matice.

Vlastnosti hermitovské transpozice

Rovnosti uvedené v následujících odstavcích platí, pokud mají výsledky operací smysl.

* (\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^\mathrm{H} = \boldsymbol{A}^\mathrm{H} + \boldsymbol{B}^\mathrm{H}. * (z\boldsymbol{A})^\mathrm{H} = \overline{z} \boldsymbol{A}^\mathrm{H} pro libovolné komplexní číslo z. +more * (\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^\mathrm{H} = \boldsymbol{B}^\mathrm{H} \boldsymbol{A}^\mathrm{H}. * \bigl(\boldsymbol{A}^\mathrm{H}\bigr)^\mathrm{H} = \boldsymbol{A} , tj. Hermitovská transpozice je involucí. * Je-li \boldsymbol{A} čtvercová matice, pak \det\bigl(\boldsymbol{A}^\mathrm{H}\bigr) = \overline{\det \boldsymbol{A}}, kde \operatorname{det}\boldsymbol A označuje determinant matice \boldsymbol{A} . * Je-li \boldsymbol{A} čtvercová matice, pak \operatorname{tr}\bigl(\boldsymbol{A}^\mathrm{H}\bigr) = \overline{\operatorname{tr}\boldsymbol{A}}, kde \operatorname{tr}\boldsymbol A označuje stopu matice \boldsymbol{A} . * \boldsymbol{A} je regulární právě když \boldsymbol{A}^\mathrm{H} je regulární a v tom případě \bigl(\boldsymbol{A}^\mathrm{H}\bigr)^{-1} = \bigl(\boldsymbol{A}^{-1}\bigr)^{\mathrm{H}} . * Vlastní čísla \boldsymbol{A}^\mathrm{H} jsou komplexně sdružená k vlastním číslům \boldsymbol{A} . * \left\langle \boldsymbol{A} x,y \right\rangle_m = \left\langle x, \boldsymbol{A}^\mathrm{H} y\right\rangle_n pro jakoukoli matici \boldsymbol{A} typu m \times n, libovolný vektor x \in \mathbb{C}^n a libovolný vektor y \in \mathbb{C}^m . Zde, \langle\cdot,\cdot\rangle_m označuje standardní skalární součin na \mathbb{C}^m , a podobně pro \langle\cdot,\cdot\rangle_n .

Zobecnění

Poslední vlastnost uvedená výše ukazuje, že pokud pohlížíme na \boldsymbol{A} jako na lineární transformaci z Hilbertova prostoru \mathbb{C}^n na \mathbb{C}^m , pak matice \boldsymbol{A}^\mathrm{H} odpovídá sdruženému operátoru k \boldsymbol A . Koncept sdružených operátorů mezi Hilbertovými prostory tak může být chápán jako zobecnění hermitovské transpozice matic vzhledem k ortonormální bázi.

Existuje další zobecnění: předpokládejme, že A je lineární zobrazení z komplexního vektorového prostoru V do W, pak lze definovat komplexně sdružené lineární zobrazení i transponované lineární zobrazení a můžeme tedy mít hermitovskou transpozici A jako komplexní sdružení transpozice A . Toto zobrazuje sdružený duál W na sdružený duál V .

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Skalární součin * Sdružený operátor * Adjungovaná matice

Kategorie:Teorie matic