Heronův vzorec

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v eukleidovské rovině) pomocí délek jeho stran.

Pokud 3 kladná čísla splňují trojúhelníkovou nerovnost, existuje v eukleidovské rovině (podle věty sss) až na polohu a orientaci jediný trojúhelník s těmito délkami stran. Takže je jednoznačně určen i jeho obsah a je tedy funkcí stran. +more Ta musí být obecně symetrická a kvadraticky homogenní a H. v. ukazuje, jak přesně vypadá.

Vzorec

Jsou-li a, b, c délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah : S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c)}, kde s= \frac {a + b +c}{2} je poloviční obvod trojúhelníku.

Důkaz

Heronův vzorec lze odvodit již na základní škole, spočívá na Pythagorově větě. +morepng'>Soubor:Heronuv_vzorec_small. png.

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro pravoúhlý trojúhelník na obrázku platí:

\ x^2 + v^2 = c^2

\ (a-x)^2 + v^2 = b^2

Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:

\ a^2 - 2ax = b^2 - c^2

Z tohoto vztahu vyjádříme x:

x= \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}

Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:

\ v^2 = c^2 - x^2

v^2 = c^2 - \left(\frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)^2

v^2 = c^2 - \frac {\left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}

v^2 =\frac{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2}

v =\frac{\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{2a}

Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku

S= \frac {av}{2},

dostaneme

S= \frac {\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{4}

Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:

S= \frac {\sqrt{\left(2ac + a^2 + c^2 - b^2\right)\left(2ac - a^2 - c^2 + b^2\right)}}{4}

S= \frac {\sqrt{\left[\left(a + c \right)^2 - b^2\right]\left[b^2 - \left(a - c \right)^2\right]}}{4}

S= \frac {\sqrt{\left(a + c + b\right)\left(a + c - b\right)\left(b + a - c\right)\left(b - a + c\right)}}{4}

Dosadíme poloviční obvod s,

\ a + b + c = 2s

a dostáváme výsledný vzorec:

S= \frac {\sqrt{2s\left(2s - 2a\right)\left(2s - 2b\right)\left(2s - 2c\right)}}{4}

S= \frac {\sqrt{16s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}}{4}

S= \sqrt{s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}

Historie

Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v první polovině 1. století.

Poznámky

Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.

Díky trojúhelníkové nerovnosti jsou všechny činitele odmocněnce H. v. kladné.

Jedná se asi o nejsložitější matematický vzorec základní školy.

Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.

Reference

Související články

Trojúhelník * Obsah * Tětivový čtyřúhelník

Externí odkazy

[url=https://web.archive.org/web/20070526232505/http://www.zshorakhk.cz/matematika/ulohy/heron/dheron.html]důkaz Heronova vzorce[/url]

Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Trojúhelník