Jordanova normální forma

Jordanova normální forma (často též Jordanův kanonický tvar) je v lineární algebře zvláštní tvar čtvercové matice užitečný mimo jiné při výpočtu maticových funkcí defektních matic. Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální a na diagonále má tzv. Jordanovy bloky (nazývané též Jordanovy buňky), což je speciální typ horní trojúhelníkové matice.

Důležitou vlastností Jordanova tvaru je, že pro každou matici A existuje Jordanův tvar J, který jí je podobný, tedy existuje taková regulární matice R, že A = R^{-1} J \, R. Takový přepis se nazývá Jordanův rozklad matice A.

Podoba Jordanova tvaru

Matice J \in \mathbb{C}^{n \times n}v Jordanově tvaru je blokově diagonální taková, že:

J = \begin{pmatrix} J_{k_1}(\lambda_1)\ & \; & \; \\ \; & \ddots & \; \\ \; & \; & J_{k_n}(\lambda_n)\end{pmatrix},

kde J_k(\lambda) \in \mathbb{C}^{k \times k}, tzv. Jordanův blok vlastního čísla \lambda dimenze k, je horní trojúhelníková matice ve tvaru:

J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & \; & \; \\ \; & \lambda & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & \lambda \end{pmatrix}.

Matice v Jordanově tvaru má tedy na diagonále obecná komplexní čísla, těsně nad diagonálou 1 nebo 0 a všude jinde nuly.

Pozn. : Nuly v maticovém zápisu Jordanova tvaru zpravidla vynecháváme, jinak by se zápis stal nepřehledným. +more Automaticky můžete předpokládat, že všechna prázdná místa v maticích budou vyplněna nulami.

Příklad 1

Následující matice je v Jordanově tvaru:

:J = \begin{pmatrix} 5 & 1 & & & & \\ & 5 & & & & \\ & & 8 & & & \\ & & & 8 & 1 & \\ & & & & 8 & 1 \\ & & & & & 8 \end{pmatrix}.

Skládá ze tří Jordanových bloků J_2(5), \, J_1(8), \, J_3(8) velikosti 2×2, 1×1 a 3×3 odpovídajících (ne nutně různým) vlastním číslům 5, 8 a 8.

Příklad 2

Jakákoliv n×n diagonální matice D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \, ..., \, \lambda_n) je v Jordanově tvaru: má n bloků J_1(\lambda_i) o rozměru 1×1.

Souvislost s vlastními čísly

Jordanova forma má úzký vztah k algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Připomeňme si stručně tyto pojmy:

* Vlastní číslo matice je takové \lambda, které pro nějaký nenulový vektor v splňuje A v = \lambda v. Tato podmínka se dá snadno přepsat jako (A - \lambda I) \, v = 0. +more * Máme-li matici A a její vlastní číslo \lambda, hodnota \dim \mathrm{Ker} \, (A - \lambda I) se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla \lambda. * Polynom p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)se nazývá charakteristický polynom matice A a jeho kořeny jsou vlastními čísly A. Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost \lambda jako kořene tohoto polynomu.

Z těchto definic je zřejmé, že Jordanův blok J_k(\lambda) má vlastní číslo \lambda s algebraickou násobností k a geometrickou násobností 1. Lze ukázat, že se násobnosti bloků v Jordanově tvaru sčítají, matice s vlastním číslem \lambda s algebraickou násobností a a geometrickou násobností g bude tedy mít pro toto vlastní číslo g Jordanových bloků, jejichž součet dimenzí bude a.

Vlastní číslo s algebraickou násobností 1 se nazývá jednoduché. Vlastní číslo, které není jednoduché, se nazývá násobné.

Jordanův kanonický tvar je jednoznačný, až na uspořádání jednotlivých Jordanových bloků na diagonále. Matice A, jejíž Jordanův kanonický tvar J

* obsahuje pouze Jordanovy bloky dimenze 1, se nazývá diagonalizovatelná nebo také jednoduchá (ekvivalentně, všechna vlastní čísla mají stejnou geometrickou i algebraickou násobnost). * Matice, která není diagonalizovatelná, ze nazývá defektní (ekvivalentně, obsahuje alespoň jeden Jordanův blok dimenze větší než jedna). +more * Matice, která má alespoň jedno vlastní číslo s geometrickou násobností větší než jedna, se v angličtině nazývá „derogatory“ (ekvivalentně, existují alespoň dva Jordanovy bloky odpovídající stejnému vlastnímu číslu). * A naopak, matice se v angličtině nazývá „nonderogatory“ pokud všechna její vlastní čísla mají geometrickou násobnost rovnou jedné (ekvivalentně, v Jordanově kanonickém tvaru dvěma různým indexům r\neq q odpovídají různá vlastní čísla \lambda_r\neq\lambda_q).

Vlastnosti

Každá matice A \in \Complex^{n \times n} je podobná matici s J jordanovou normální formou. Tj. +more existuje matice přechodu mezi bázemi P tak, že PA = JP. Jelikož Jordanova matice je trojúhelníková, její vlastní čísla jsou na diagonále, a jelikož A a J jsou podobné, jejich vlastní čísla jsou stejná.

Příklad Jordanova rozkladu a funkce matice

Demonstrujme si Jordanův rozklad na jednoduchém příkladu. Máme rozložit matici

: \quad A = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{6} +2 & 4 \\ -1 & \frac{\pi}{6} -2 \end{pmatrix}.

Nejprve určíme vlastní čísla této matice, například pomocí determinantu

: \det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} \frac{\pi}{6} +2 -\lambda & 4 \\ -1 & \frac{\pi}{6} -2-\lambda \end{vmatrix}=0.

Dostáváme

: \det(A-\lambda I) =\lambda^2 - \frac{\pi}{3} \lambda + \frac{\pi^2}{36}=\left(\lambda-\frac{\pi}{6}\right)^2=0.

Nalezli jsme tedy vlastní číslo \lambda_{1}=\frac{\pi}{6} s algebraickou násobností 2.

Vlastní vektory odpovídající tomuto vlastnímu číslu jsou všechna nenulová řešení x homogenní soustavy (A-\lambda_1I)x=0. Zřejmě

: A-\lambda_1I = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}

a jedním z hledaných řešení je například vektor x_1=(2,-1)^T. Všimněme si, že matice A-\lambda_1I má hodnost jedna a dimenze jejího jádra (nulového prostoru) je také jedna. +more Žádný jiný lineárně nezávislý vlastní vektor matice A nemá. Vlastní číslo má geometrickou násobnost jedna.

Pro výpočet Jordanova rozkladu musíme sestavit matici X. Jejím prvním sloupcem bude právě vlastní vektor x_1, druhým sloupcem x_2 bude tzv. +more zobecněný vlastní vektor, pro který v tomto případě platí.

: Ax_2 = x_1+\lambda x_2.

Snadno se přesvědčíme, že x_2=(1,0)^T. Zadanou matici nyní můžeme zapsat pomocí Jordanova rozkladu

: \begin{pmatrix} \frac{\pi}{6} +2 & 4 \\ -1 & \frac{\pi}{6} -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\pi}{6} & 1 \\ 0 & \frac{\pi}{6} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{-1},

kde prostřední matice je Jordanův kanonický tvar matice A. Obsahuje jediný Jordanův blok velikosti 2.

Reference

Kategorie:Maticové rozklady