Křivost křivky

Křivost křivky je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky. Má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů nosníků. Lze také říci, že v daném bodě křivky f se její křivost nejlépe přimyká kružnici, jejíž poloměr se nazývá poloměr křivosti v tomto bodě. Křivost určuje míru vychýlení křivky od její tečny v daném bodě.

Vztahy pro výpočet křivosti křivky

Je-li známá rovnice rovinné křivky f=f(x) v kartézském souřadném systému, pak křivost křivky \kappa je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky r . Platí

\kappa = \frac{1}{r}=\frac{[1+({df \over dx})^2]^{3/2}}=\frac{[1+y'^2]^{3/2}}.

V některých případech je vhodné výše uvedený nelineární vztah zjednodušit, potom platí

\kappa = \frac{1}{r} \approx \frac{1+ \frac{3}{2}\bigl({df \over dx}\bigr)^2} \approx {d^2f \over dx^2}.

Výše uvedený vztah je používaný v základní mechanice nosníků.

* Je-li rovnice křivky daná parametricky x = p(t), y = q(t) v kartézském souřadném systému \kappa = \frac

Další informace

Inflexní bod křivky má nulovou křivost.

Poloměr křivosti křivky je také poloměrem její oskulační kružnice.

Kružnice je křivka s konstantním poloměrem křivosti, který je v absolutní hodnotě roven poloměru kružnice. Přímka, polopřímka a úsečka mají nekonečný poloměr křivosti (tj. +more přímku si lze představit jako kružnici o nekonečném poloměru). Kružnice, přímka, polopřímka a úsečka jsou jediné rovinné křivky s konstantní křivostí, viz řešené příklady.

V obecném případě, u prostorových křivek se používají pro výpočet křivosti Frenetovy vzorce.

Křivost má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů a napětí u nosníků, desek a skořepin v mechanice, při řešení kinematiky a dynamiky pohybu, v optice (poloměr křivosti optických čoček a zrcadel) aj.

Blíže např. , a [url=http://is.muni.cz/do/1499/el/estud/prif/ps08/geom/web/index.html]elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch[/url] .

Příklady výpočtu

Křivost přímky, polopřímky či úsečky (nejjednodušší příklad)

Přímka, polopřímka či úsečka je daná rovnicí f=f(x)=kx+q, kde k, q jsou konstanty.

Pro derivace f platí {df \over dx}=k a {df^2 \over dx^2}=0.

Pro křivost přímky pak platí \kappa = \frac{[1+({df \over dx})^2]^{3/2}}=\frac{[1+(k)^2]^{3/2}}=0.

Křivost kružnice

kružnice je daná např. rovnicí f=f(x) = \pm\sqrt{r^2-x^2}, kde r je poloměr kružnice.

Pro derivace f, pak platí {df \over dx}={-x \over \sqrt{r^2-x^2}} a {df^2 \over dx^2}={-r^2 \over \Bigl(\sqrt{r^2-x^2}\Bigr)^3} .

Pro křivost dané kružnice pak platí \kappa = \frac{[1+({df \over dx})^2]^{3/2}}=\frac{{-r^2 \over \Bigl(\sqrt{r^2-x^2}\Bigr)^3}}{[1+({-r \over \sqrt{r^2-x^2}})^2]^{3/2}}=-1/r.

Výpočet křivosti v software Mathcad

Na následujícím obrázku je provedeno odvození vztahu pro křivost kvadratické rovnice (f(x) = ax2+bx+c) v sw Mathcad (ukázka programování, tzv. symbolický výpočet). +more Soubor:Curvature-Mathcad. png|alt=curvature, Mathcad|Odvození vztahu pro křivost v sw Mathcad (kvadratická rovnice).

Reference

Externí odkazy

[url=http://is. muni. +morecz/do/1499/el/estud/prif/ps08/geom/web/index. html]Elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch[/url] * Nosník na pružném podkladu * Poloměr křivosti.

Kategorie:Křivky