Kruh

Kruh

Kruh je rovinný geometrický útvar, omezený kružnicí. Kruh je určen svým středem S a poloměrem r: Je to množina všech bodů roviny, které mají od středu vzdálenost menší nebo rovnou poloměru.

Základní vzorce

Pro poloměr

Obvod o kruhu je určen vzorcem: : o = 2 \pi r\, kde π označuje číslo pí, a jeho plocha S vzorcem: : S = \pi r^2\,.

Pro průměr

Pokud bychom uvažovali poloměr (rádius) r jako polovinu průměru d, tedy dosadili: r = \frac{d}{2}, tak by vzorce vypadaly následovně:

pro obvod o: : o = 2 \frac{\pi d}{2} = \pi d a takto pro plochu S: : S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \frac{d^2}{2^2} = \pi \frac{d^2}{4}

Odvození vzorce pro plochu pomocí integrace

Obecný středový tvar rovnice kružnice se středem v počátku soustavy souřadné: : x^2 + y^2 = r^2 Rovnice části kružnice v I. kvadrantu: : y = +\sqrt{r^2 - x^2} Plocha kruhu se nyní rovná čtyřnásobku plochy vymezené osami x a y a částí kružnice v I. +more kvadrantu, pomocí integrálního počtu tedy: : S = 4\int_{0}^{r} \,\sqrt{r^2 - x^2}\mathrm{d}x Použijeme substituci, kde x substituujeme za r\sin (t): : S = 4\int_{0}^{r} \,\sqrt{r^2 - r^2\sin^2 (t)}r\cos (t)\mathrm{d}t Upravíme: : S = 4\int_{0}^{r} \,r^2\cos^2 (t)\mathrm{d}t = 4r^2\int_{0}^{r} \,\cos^2 (t)\mathrm{d}t Integrujeme: : S = 4r^2[\frac{t}{2} + \frac{\sin (2t)}{4}]^r_0 Vypočítáme určitý integrál pro r = \frac{\pi}{2}: : S = 4r^2(\frac{\pi}{4} + \frac{\sin (\pi)}{4}) = \pi r^2.

Další pojmy

Část kruhu vymezená dvěma průvodiči je kruhová výseč, část kruhu omezená sečnou je kruhová úseč. Plocha vymezená dvěma soustřednými kružnicemi o nestejném poloměru je mezikruží.

Kvadratura kruhu

Kvadratura kruhu je konstrukční úloha: sestrojit k danému kruhu čtverec o stejném obsahu pouze pomocí pravítka a kružítka. Tato úloha obecně nemá řešení, přibližná řešení byla ovšem známa už ve starověku.

Naproti tomu Tarského problém kvadratury kruhu je úloha rozdělit daný kruh na konečně mnoho kousků a složit z těchto kousků čtverec o stejném obsahu. S použitím axiomu výběru je tato úloha řešitelná, ovšem nikoliv prakticky. +more Kousky jsou neměřitelné množiny, které nelze realizovat hmotou složenou z částic. Navíc řešení, které nalezl Laczkovich, vyžaduje 10^{50} kousků.

Třírozměrné tvary, jejichž průsečíky s některými rovinami dávají kruhy, jsou koule, sféroidy, válce a kužely.

Odkazy

Reference

Související články

Kružnice * Mezikruží * Kvadratura kruhu * Malfattiho kruhy

Externí odkazy

[url=http://www. geometryatlas. +morecom/categories/Circles]Vzorce pro kruh a kružnici[/url] na Geometry Atlas. * [url=http://www. mathopenref. com/tocs/circlestoc. html]Interaktivní applety Java[/url] Vlastnosti a jednoduché konstrukce kruhu a kružnice.

Kategorie:Obrazce