Logaritmická spirála
Author
Albert FloresLogaritmická spirála
Logaritmická spirála je rovinná křivka (spirála), jejíž poloměr roste exponenciálně s velikostí úhlu.
V polární soustavě souřadnic (r, \theta) lze tuto spirálu zapsat rovnicí
:r = ae^{b\theta},
nebo ekvivalentně
:\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),
kde
:a, b > 0 a e je Eulerovo číslo.
Vlastnosti
Důležitými body jsou pól a počátek. * Pól je bod, kolem kterého se spirála „ovíjí“. +more Pro neposunutou spirálu se nachází v bodě [0,0] souřadné soustavy. * Počátek spirály je bod, od kterého se začíná spirála vykreslovat. Pro neposunutou spirálu se nachází v bodě [a, 0].
Paprsek vycházející z pólu spirály protíná spirálu v bodech, jejichž vzdálenosti od pólu tvoří geometrickou posloupnost.
Tečný úhel je definován jako úhel, který svírá pro daný bod spirály vektor poloměru s tečnou ve stejném bodě. Spojnice pólu spirály a libovolného jejího bodu protíná logaritmickou spirálu vždy pod stejným tečným úhlem. +more Proto se logaritmická spirála také nazývá ekviangulární (rovnoúhlá) spirála (René Descartes, 1638).
Další možné vyjadření rovnice logaritmické spirály získáme jednoduchou úpravou:
:\ln (r/a) = b \theta
Z tohoto vztahu také vznikl název „logaritmická spirála“.
Logaritmické spirály v přírodě
Výsledkem některých přírodních jevů jsou útvary, které se podobají logaritmickým spirálám. Zde je výčet několika příkladů: * Dráha, po níž se draví ptáci (sokoli) přibližují ke své kořisti. +more Rovnoúhlost spirály jim umožňuje pozorovat kořist pod stálým úhlem.
* Dráha, po níž se hmyz přibližuje ke zdroji světla.
* Ramena spirálních galaxií. Galaxie Mléčná dráha má několik spirálních ramen; každé rameno zhruba odpovídá logaritmické spirále se sklonem asi 12 stupňů.
* Pásy oblačnosti tvořící se ve středu tropických cyklón.
* Řada biologických útvarů, například schránky měkkýšů.
Odkazy
Reference
Externí odkazy
[url=http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiral.html]Logaritmická spirála[/url] na MathWorld