Matice soustavy

Matice soustavy, též matice koeficientů, je v lineární algebře matice vytvořená z koeficientů neznámých proměnných soustavy lineárních rovnic. Matice se používá pro určení množiny řešení soustavy.

Definice

Soustavu m lineárních rovnic o n neznámých lze obecně zapsat ve tvaru : \begin{array}{rcr} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &=& b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n &=& b_2 \\ &\vdots& \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n &=& b_m \\ \end{array}

kde x_1, x_2,. ,x_n jsou neznámé a čísla a_{11}, a_{12},. +more, a_{mn} jsou koeficienty soustavy. Matice soustavy je matice typu m\times n, jejíž prvky na souřadnicích i a j jsou koeficienty a_{ij}: : \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.

Soustavu rovnic pak lze vyjádřit stručněji jedinou rovnicí

: \boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b},

kde \boldsymbol{A} je matice soustavy a \boldsymbol{b} je sloupcový vektor pravých stran, též nazývaný vektor konstantních členů.

Rozšířená matice soustavy

Rozšířená matice soustavy je přepis soustavy m lineárních rovnic o n neznámých

: \begin{array}{rcr} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &=& b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n &=& b_2 \\ &\vdots& \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n &=& b_m \\ \end{array}

do rozšířené matice, kde k matici soustavy je přidán vektor pravých stran.

:(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b}) = \left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right)

Hodnost matice

Podle Frobeniovy věty nemá soustava rovnic žádné řešení, pokud hodnost r rozšířené matice soustavy je větší než hodnost matice soustavy. Jsou-li naopak hodnosti obou matic stejné, má soustava alespoň jedno řešení. +more Řešení je jednoznačné, právě když hodnost r=\operatorname{rank}\boldsymbol A je rovna počtu proměnných n. Je-li proměnných více, pak lze n-r volným proměnným přiřadit libovolnou hodnotu a dopočítat řešení. Odlišné volby hodnot volných proměnných vedou k odlišným řešením soustavy.

Dynamické rovnice

Maticová diferenční rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

:\boldsymbol y_{t+1}=\boldsymbol A\boldsymbol y_t+\boldsymbol c,

kde \boldsymbol{A} je čtvercová matice řádu n a \boldsymbol{y} a \boldsymbol{c} jsou n-složkové vektory. Tato soustava konverguje k rovnovážnému stavu \boldsymbol{y}, právě když absolutní hodnoty všech n vlastních čísel matice \boldsymbol{A} jsou menší než 1.

Maticová diferenciální rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

:\frac{d\boldsymbol y}{dt}=\boldsymbol{Ay}(t) +\boldsymbol c.

Tato soustava je stabilní, právě když všech n vlastních čísel matice \boldsymbol{A} má záporné reálné části.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Soustava lineárních rovnic * Gaussova eliminační metoda

Kategorie:Matice Kategorie:Rovnice