Matice zkosení

Technology

12 hours ago

Author

Matice zkosení je v lineární algebře elementární matice, která reprezentuje přičtení násobku jednoho řádku nebo sloupce k jinému. Takovou matici můžeme dostat z jednotkové matice nahrazením jednoho nulového prvku nenulovou hodnotou.

Definice

Matice zkosení má podobu:

:\boldsymbol{L}_{ij}(\lambda) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & \lambda & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix}

Formálně pro dvojici různých indexů i\ne j a parametr \lambda: : (\boldsymbol{L}_{i,j}(\lambda))_{k,l} = \begin{cases} \lambda & \text{pro } (k,l)=(i,j),\\ 1 & \text{pro } k=l,\\ 0 & \text{jinak}.\\ \end{cases}

Ukázka v \R^2

Zkosení rovnoběžné s osou x vede k x' = x + \lambda y a y' = y. V maticovém tvaru:

: \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.

Podobně zkosení rovnoběžné s osou y má x' = x a y' = y + \lambda x. V maticovém tvaru:

: \begin{pmatrix}x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.

Vlastnosti

Je-li \boldsymbol{L} je matice zkosení řádu n, pak má následující vlastnosti: * \boldsymbol{L} je asymetrická, neboli není symetrická, * z \boldsymbol{L} lze vytvořit blokovou matici záměnou vhodné dvojice sloupců a vhodné dvojice řádků, * \boldsymbol{L} má hodnost n, a proto je regulární. * inverzní matice je (\boldsymbol{L}_{ij}(\lambda))^{-1}=\boldsymbol{L}_{ij}(-\lambda), reprezentující transformaci zkosení opačným směrem, * pro celočíselné, tedy i nekladné mocniny platí (\boldsymbol{L}_{ij}(\lambda))^n=\boldsymbol{L}_{ij}(n\lambda), * \boldsymbol{L} je trojúhelníková s 1 na diagonále a proto má její determinant hodnotu \det\boldsymbol{L} = 1, * obsah, objem nebo objemy polytopů jakéhokoli vyššího řádu se při zkosení vrcholů polytopu nemění, * pro stopu platí \operatorname{tr}\boldsymbol{L} = n, * 1 je jediné vlastní číslo matice \boldsymbol{L}, * geometrická násobnost vlastního čísla 1 neboli dimenze prostoru vlastních vektorů matice \boldsymbol{L} je n-1, * \boldsymbol{L} je defektní.

Skládání v rovině

Pro skládání dvou nebo více zkosení v rovině platí vztah:

Jsou-li \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix} a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \mu & 1 \end{pmatrix} dvě matice zkosení, pak matice složené transformace je: :\begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \mu & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \lambda\mu & \lambda \\ \mu & 1 \end{pmatrix}.

Determinant výsledné matice je 1, takže se obsah či objem zachová i při složené transformaci (platí obecně i ve vyšších dimenzích).

Volba \lambda=\mu dává pozitivně definitní matici \begin{pmatrix} 1 + \lambda^2 & \lambda \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}.