Měřitelný prostor

Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry. Sestává z libovolné neprázdné množiny a tzv. sigma-algebry na této množině. Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny neprázdné množiny) lze měřit. Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny neprázdné množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Definice

Měřitelný prostor je uspořádaná dvojice (X,\mathcal A), kde * X je neprázdná množina, * \mathcal A je \sigma-algebra na množině X.

Příklad

Uvažujme množinu X= \{1,2,3\}, pak jedna z možných \sigma-algeber je :\mathcal A_1=\{X, \emptyset\} a (X,\mathcal A_1) je měřitelný prostor, další možnou \sigma-algebrou je potenční množina množiny X, tj.: : \mathcal A_2= \mathcal P(X) a (X, \mathcal A_2) je jiný měřitelný prostor.

Měřitelné prostory

Pokud X je konečná nebo spočetná množina, pak potenční množina množiny X je \sigma-algebrou, tj. \mathcal A=\mathcal P(X). +more Měřitelný prostor je pak (X, \mathcal P(X)). * Pokud X je topologický prostor, pak \sigma-algebra může být borelovská množina \mathcal B, tj. \mathcal A= \mathcal B(X). Měřitelný prostor je pak (X, \mathcal B(X)), obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny reálných čísel \R.

Borelovské prostory

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů, může znamenat: * jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše, * měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel, která je borelovskou \sigma -algebrou.

Odkazy

Reference

Související články

Prostor s mírou * Pravděpodobnostní prostor

Kategorie:Teorie míry