Cesko.wiki Normovaná algebra s dělením
Author
Albert FloresNormovaná algebra s dělením A, nazývaná též Hurwitzova algebra, je taková algebra s dělením nad reálnými čísly nebo komplexními čísly, která je současně také normovaný vektorový prostor, vybavený normou || · || splňující následující vlastnosti:
:\|xy\| = \|x\| \|y\| pro všechna x a y, která jsou prvkem v A.
Tato vlastnost se též nazývá kompozice či skládání, a proto jsou normované algebry s dělením též nazývané složené algebry. Ačkoliv definice připouští normované algebry s dělením o nekonečném počtu dimenzí, fakticky tento případ nenastává. +more Jedinými typy normovaných algeber s dělením nad reálnými čísly (až na isomorfismus) jsou: *reálná čísla, označovaná R *komplexní čísla, označovaná C *kvaterniony, označované H *oktoniony, označované O,.
což je obsahem tvrzení známého jako Hurwitzův teorém. Ve všech uvedených případech je norma definovaná pomocí absolutní hodnoty. +more Dodejme, že prvé tři typy čísel jsou vlastně asociativními algebrami, zatímco oktoniony tvoří alternující algebru (určitá slabší forma asociativity).
Jedinou možnou asociativní normovanou algebru s dělením nad komplexními čísly představují komplexní čísla samotná.
Fyzikální význam
Hurwitzovy algebry nejsou jen jednou z mnoha formálně zavedených matematických struktur, ale korespondují s jednotlivými typy Lieových grup, které matematicky reprezentují pro fyziku významné spojité symetrie. Zejména oktoniony mají řadu pozoruhodných vlastností, neboť korespondují s řadou výlučných matematických objektů - např. +more pěti typy výlučných Lieových grup. Na tom je založen tzv. "oktonionický boom" v teoretické fyzice, zejména pak částicové fyzice (úsilí o "velké sjednocení" elementárních sil a interakcí, tzv. "teorie všeho").