Obloukově souvislá množina

Obloukově souvislý topologický prostor je pojem z matematiky, konkrétněji z topologie. Je to vlastnost prostoru, v kterém se libovolné dva body dají spojit křivkou.

Definice

Topologický prostor je obloukově souvislý, pokud každé dva jeho body A,B\in X existuje spojitá křivka :s: [0,1]\to X,\quad s(0)=A, \, s(1)=B.

Podmnožina Y topologického prostoru X se nazývá obloukově souvislá, pokud Y je souvislý jako topologický prostor vzhledem k indukované topologii.

Příklady

# Euklidovské prostory \mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}_0, uvažované s metrickou topologií jsou obloukově souvislé # Hilbertovy prostory ,obecněji topologický vektorový prostor, jsou obloukově souvislé. # \mathbb{R}^2 bez osy x není souvislý prostor. +more Obecná lineární grupa, ani grupa všech Lorentzových transformací nejsou obloukově souvislé. (Nejsou ani souvislé. ).

Tvrzení

Pokud je topologický prostor X obloukově souvislý, pak je souvislý.

Obrácená věta však neplatí. Protipříkladem je množina \scriptstyle \left\{(0,y)\ \big|\ |y| \leq 1\right\} \cup \left\{\left(x,\sin\frac 1x\right)\ \big|\ x>0\right\}. +more Tato množina je souvislá, ale není obloukově souvislá.

Kategorie:Topologie