Okruh endomorfismů

Okruh endomorfismů je matematická struktura z oboru abstraktní algebry. Jejími prvky jsou endomorfismy nějakého objektu (jiné struktury) a dvě operace - skládání endomorfismů tohoto objektu, která realizuje „násobení“, a původní operace sčítání na objektu, přičemž výsledná struktura splňuje axiomy okruhu. Nulovým prvkem je endomorfismus zobrazující vše na nulový prvek původní struktury a neutrálním prvkem vzhledem k „násobení“ je identita. Okruh endomorfismů bývá značen End(X), kde X je nahrazeno označením původní struktury.

Příklady

Prvky okruhu endomorfismů abelovské grupy (G,+) jsou endomorfismy G, tedy grupové homomorfismy z G do G. Každé dva takové endomorfismy f a g mohou být sečteny po prvcích, tedy hodnotou (f+g)(x) je f(x)+g(x), přičemž vznikne opět endomorfismus. +more Také mohou být libovolné z endomorfismů skládány a skládání je vzhledem k uvedenému sčítání distributivní. Výsledná struktura je tedy okruhem, může být značena End(G).

Stejným způsobem je možné vybudovat okruh endomorfismů pro libovolný modul. Jeho prvky budou endomorfismy daného modulu. +more Naopak pro nekomutativní (neabelovské) grupy podobná konstrukce selže, protože součtem dvou homomorfismů nemusí být homomorfismus.

Pokud uvažujeme vektorový prostor nad tělesem Tn, pak okruh endomorfismů odpovídá maticovému okruhu matic n×n s hodnotami z T. Tak tomu je obecněji pro každý volný modul.

Vlastnosti

okruhy endomorfismů jsou asociativní * je-li modul jednoduchý, pak je jeho okruh endomorfismů těleso (takzvané Schurovo lemma)

Kategorie:Teorie okruhů Kategorie:Teorie modulů Kategorie:Teorie kategorií