Osmiúhelník

Technology

12 hours ago

Author

pravidelný osmiúhelník Osmiúhelník je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník s osmi vrcholy a osmi stranami.

Součet velikostí vnitřních úhlů konvexního osmiúhelníku je 1080° (6π).

Pravidelný osmiúhelník

Na pravidelný osmiúhelník lze například nahlížet jako by byl složen z osmi shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost \frac{3\pi}{8} a při vrcholu \frac{\pi}{4}. Jde tedy o příklad středové souměrnosti.

Parametry

Pro pravidelný osmiúhelník lze definovat tyto pojmy: * střed symetrie osmiúhelníku: S * vrcholy, po obvodu: V1 . V8 * délka strany: a jako přímá vzdálenost dvou sousedních vrcholů * středy stran, po obvodu: A1 . +more A8.

Pravidelný osmiúhelník lze rozdělit * na 8 stejných rovnoramenných trojúhelníků T o stranách R-R-a, mezi body VnSVn+1, ** jeho vrcholový úhel u bodu S je z definice právě osmina kruhu, tedy \pi/4 = 45°. * nebo na 16 stejných pravoúhlých trojúhelníků t o stranách R-r-a/2, mezi body AnSVn, ** se středovým úhlem \pi/8 = 22,5°.

Tím je určena vazba na Pythagorovu větu: :R=\sqrt{r^2 + (a/2)^2}.

Navíc s vědomostí, že i goniometrické výrazy úhlu lze vyjádřit přesně: :cotg(22,5^\circ) = 1+\sqrt{2}.

čtverce (v obrázku jeho celková strana označena S). +more Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit poloměr * kružnice opsané R, který je definován délkou úsečky SV od středu k vrcholu: :a=2R \cdot sin(22,5^\circ).

** tedy minimální ještě vnější průměr D, přibližně: :D≈2,61·a.

* kružnice vepsané r, který je definován délkou úsečky SA od středu ke straně, tedy jako výška trojúhelníka T, po jeho symetrále: :r=a/2 \cdot cotg(22,5^\circ) = a/2 \cdot (1+\sqrt{2}) nebo inverzně a/2 = r \cdot tg(22,5^\circ) = r / (1+\sqrt{2}).

** tedy maximální ještě vnitřní průměr d, přibližně: :d≈2,41·a.

Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit vlastnosti * obvod: o = 8 \cdot a. * obsah: ** pomocí trojúhelníků z polárního dělení: :S = 4ar = \frac{8r^2}{(1+\sqrt{2})}. +more ** oříznutím z úplného čtverce: :S = 4r^2-a^2 = (a\sqrt{2} + a + a\sqrt{2})^2 - a^2 = 2(1+\sqrt{2}) a^2.