Cesko.wiki Reziduum (matematika)
Author
Albert FloresVyjádříme-li meromorfní funkci f(z) v okolí jejího izolovaného singulárního bodu z_0 Laurentovou řadou (pro z \neq z_0), pak číslo a_{-1} se nazývá reziduum funkce f(z) v bodě z_0.
Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme :a_{-1} = \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z
Reziduová věta
Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku c, která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku \scriptstyle \mathbf{G}. Uvažujme funkci \scriptstyle f(z), která je v \scriptstyle \mathbf{G} holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů z_1, z_2, . +more, z_n a s výjimkou těchto bodů spojitá v \scriptstyle \mathbf{G} \cup c. Pak integrál.
:\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z
je roven součtu reziduí funkce f(z) v bodech z_1, z_2, . , z_n, tzn. +more :\frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_c f(z) \mathrm{d}z = \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k}, kde \scriptstyle \mathrm{Res}{[f(z)]}_{z=z_k} označuje reziduum funkce f(z) v bodě z_k.
Výpočet reziduí
Má-li meromorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:
:\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c}=\lim_{z\to c}(z-c)f(z),
nebo přímo použitím reziduové věty
:\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz
kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.
Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako :\operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{g(c)}{h'(c)}.
Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:
: \operatorname{Res}\left[f\right]_{z=c} = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right)^{n-1}\left( f(z)\cdot (z-c)^{n} \right).
Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.