Riemannova funkce

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Riemannova funkce je v matematice reálná funkce jedné reálné proměnné, definovaná na celé množině reálných čísel, v jejímž funkčním předpisu je znát záměr demonstrovat vlastnosti rozložení racionálních a iracionálních čísel v reálné množině.

Riemannovu funkci lze považovat za rozšíření Dirichletovy funkce.

Definice a graf

Náznak grafu Riemannovy funkce Riemannova funkce se označuje R(x) a je definována následovně: :R(x):=\begin{cases} 0,& \mbox{pokud}\ x\ \mbox{je iracionální číslo} \\ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle q},&\mbox{pokud}\ x=\frac{\displaystyle p}{\displaystyle q},\ \mbox{kde}\ p,q\ \mbox{jsou nesoudělná. +more} \end{cases}.

Graf Riemannovy funkce nelze žádným způsobem nakreslit, ani si ho představit. To, zejména v +more_století'>19. století, vedlo mnohé matematiky k pochybám, zda Riemannova funkce je regulérní funkcí, či konstruktem, který nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.

Vlastnosti

Riemannova funkce má následující vlastnosti: * Není spojitá v žádném racionálním bodě. * Je spojitá v každém iracionálním bodě. +more * Pro každé a platí \lim_{x\rightarrow a}R(x)=0. * Není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě. * Nabývá ostrého lokálního maxima v každém racionálním bodě a neostrého globálního minima v každém iracionálním bodě. * Lebesgueův integrál přes celý definiční obor je roven 0. * Newtonův integrál neexistuje.