Cesko.wiki Schurův rozklad
Author
Albert FloresSchurova rozklad je matematická konstrukce, která se používá v oblasti lineární algebry k rozkladu matic na součet dvou speciálních typů matic. Tento rozklad je pojmenován po německém matematikovi Issaij Schurovi a poskytuje užitečný nástroj pro analýzu a manipulaci s maticemi. Schurova rozkladu je založen na vlastnostech lineárních operátorů, které jsou reprezentovány maticemi. Pomocí tohoto rozkladu je možné rozložit libovolnou matici na součet dvou matic - jedna z těchto matic je diagonalizovatelná, zatímco druhá má nulovou stopy. Tento rozklad je velmi užitečný pro řešení různých problémů v matematice a fyzice, například v teorii čísel, teorii grafů, kvantové mechanice a dalších oblastech. Schurova rozkladu je důležitá v různých oblastech, včetně lineární algebry, numerické analýzy a teorie maticových funkcí. Je založen na spektrální teorii operátorů a umožňuje detailní analýzu vlastností matic. Schurova rozkladu je také důležitý pro pochopení různých algebraických struktur a může být použit k řešení složitých lineárních rovnic a problémů. Celkově je Schurova rozkladu důležitým nástrojem pro analýzu a manipulaci s maticemi. Je založen na spektrální teorii operátorů a umožňuje rozložení matic na součet dvou speciálních typů matic. Tento rozklad je široce používán v různých oblastech matematiky a fyziky a poskytuje užitečný nástroj pro studium lineárních operátorů a jejich vlastností.
Schurův rozklad je rozklad čtvercové matice A \in \mathbb{C}^{n \times n} ve tvaru \displaystyle A=QRQ^*, kde \displaystyle Q je unitární matice a \displaystyle R je horní trojúhelníková matice, která má na diagonále vlastní čísla matice \displaystyle A. V numerické lineární algebře se tento rozklad velmi často využívá, a to především k výpočtu vlastních čísel matice.
Schurův rozklad normální matice
Je-li navíc matice \displaystyle A normální, tj. \displaystyle AA^*=A^*A (speciálně je-li matice \displaystyle A symetrická, hermitovská, antisymetrická, antihermitovská, ortogonální, nebo unitární), pak :\begin{array}{rl} (QRQ^*)(QRQ^*)^* &= (QRQ^*)^*(QRQ^*), \\ (QRQ^*)(QR^*Q^*) &= (QR^*Q^*)(QRQ^*), \\ QRR^*Q^* &= QR^*RQ^*, \\ RR^* &= R^*R, \end{array} je také matice \displaystyle R normální. +more Porovnáním (diagonálních) prvků matic \displaystyle RR^* a \displaystyle R^*R zjistíme, že matice \displaystyle R je diagonální.
Porovnáním prvních prvků prvního řádku rovnosti : [RR^*]_{1,1} = |r_{1,1}|^2+\sum_{j=2}^n|r_{1,j}|^2 = |r_{1,1}|^2 = [R^*R]_{1,1}, dostaneme \displaystyle r_{1,j}=0, \displaystyle j=2,\ldots,n. Analogicky postupujeme dále.
Schurova věta
Pro libovolnou matici \displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n} existuje unitární matice \displaystyle Q tak, že \displaystyle R=Q^*AQ je horní trojúhelníková matice s vlastními čísly matice \displaystyle A na diagonále v libovoném předepsaném pořadí. Je-li navíc matice \displaystyle A normální, je matice R diagonální.
Výpočet
K výpočtu Schurova rozkladu se využívá QR algoritmu, který je založen na QR rozkladu. Avšak pro matici řádu většího nebo rovno 5 nelze obecně spočíst tento rozklad v konečném počtu kroků.