Schwedlerova věta

Schwedlerova věta udává vztah mezi ohybovým momentem a posouvající (smykovou, příčnou) silou, jež představují staticky ekvivalentní náhradu napětí působících v libovolném průřezu ohýbaného přímého nosníku. Věta je připisována německému stavebnímu inženýrovi Johannu Wilhelmu Schwedlerovi, který ji publikoval v roce 1851. Schwedlerova věta se užívá při vyšetřování namáhání nosníků. Schwedlerova věta se také někdy nazývá Schwedler-Žuravského věta.

Odvození

+more3'>Zatížení elementu nosníku - znaménková konvence Schwedlerova věta popisuje statickou momentovou rovnováhu části nosníku vymezené dvěma průřezy, jejichž vzdálenost se limitně blíží nule: :(M+\mathrm{d}M)-M-Q\mathrm{d}x+q\frac{\mathrm{d}x^2}{2}=0\, kde M a Q představují velikost momentové a silové výslednice napětí působících po průřezu nosníku, q je velikost spojitého příčného zatížení nosníku, x označuje polohu průřezu nosníku po délce nosníku a \mathrm{d} je označení diferenciálu. Protože člen q\tfrac{\mathrm{d}x^2}{2} je zanedbatelně malý vzhledem ke zbývajícím členům rovnice momentové rovnováhy, lze psát : \mathrm{d}M-Q\mathrm{d}x=0\, respektive {{Vzorec| \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=Q\,. |1}} Poslední vztah se označuje jako Schwedlerova věta. Vyplývá z něj, že ohybový moment nabývá extrémních hodnot v místech, kde je posouvající síla Q nulová.

Na základě podmínky statické rovnováhy pro příčné zatížení nosníku :(Q+\mathrm{d}Q)-Q+q\mathrm{d}x=0 pro posouvající sílu platí {{Vzorec|\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x}=-q\,|2}} a Schwedlerovu větu pak lze vyjádřit ve tvaru {{Vzorec| \frac{\mathrm{d}^2M}{\mathrm{d}x^2}=-q\,.|3}}

+more3'>Osové zatížení elementu nosníku - znaménková konvence Pojem Schwedlerova věta se někdy používá pro vztahy - , popřípadě ještě pro vztah mezi osovou silou N a spojitým osovým zatížením n, který lze odvodit z podmínky silové rovnováhy ve směru osy nosníku: :\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}x}=-n\,.

Odvození pro nosník na pružném podkladu

Odkaz na odvození Schwedlerových vět pro nosníky na pružném podkladu.

Historie

Schwedlerova kresba užitá při odvození vztahu . +more Odvození vztahu lze najít v první části Schwedlerovy práce o teorii nosníkových mostních konstrukcí publikovaná v roce 1851, byť v odlišném tvaru : {{Vzorec| \frac{\mathrm{d}\displaystyle\sum\limits_i X_iy_i}{\mathrm{d}x} = \sum\limits_i Y_i\,|4}} kde X_i jsou normálové vnitřní síly působící po výšce průřezu, Y_i jsou smykové vnitřní síly působící po výšce průřezu a y_i jsou vzdálenosti působišť sil od spodní strany nosníku. Schwedler při odvození postupoval tak, že nejprve rozdělil nosník myšleným řezem na dvě části, potom sepsal podmínku rovnováhy jedné části nosníku a derivací této podmínky podle x dospěl k výše uvedenému vztahu .

Zmínku o tom, že Schwedler byl první, kdo poukázal na vztah mezi derivací ohybového momentu a posouvající silou, lze najít v knize Der Bau der Brückenträger z roku 1857. Karl Pearson v knize A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials z roku 1893 toto tvrzení zpochybnil. +more Pearson však neuvedl, kdo s tímto vztahem přišel před Schwedlerem. Stěpan Prokofjevič Timošenko, profesor inženýrské mechaniky na Stanfordově univerzitě , ve své knize History of Strength of Materials z roku 1953 tvrdí, že se nenašel dřívější zmínku o Schwedlerem odvozeném vztahu.

Reference

Kategorie:Mechanika pružnosti a pevnosti