Cesko.wiki Viètovy vzorce
Author
Albert FloresViètovy vzorce, pojmenované po Françoisi Viètovi, jsou vztahy mezi kořeny a koeficienty polynomů.
Obecný zápis
Každý polynom n-tého stupně (pro n≥1) p(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, s koeficienty a_n, a_{n-1}, \cdots ,a_1,a_0 náležejícími \mathbb{R} či \mathbb{C} , kde an≠ 0, má dle základní věty algebry nejvýše n komplexních kořenů x1, x2, . , xn. +more Viètovy vzorce potom předepisují n rovnic, které vedou k nalezení n kořenů:.
:\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases} :Výrazy vlevo jsou tzv. +more elementární symetrické polynomy n proměnných (prvního až n-tého stupně).
:\sigma _k {(x_1,...,x_n)}=(-1)^k \tfrac{a_{n-k}}{a_n}.
Tato soustava rovnic však zpravidla nemá jednodušší řešení než původní rovnice. :Poslední vzorec (pro součin kořenů) se používá k nalezení celočíselných nebo racionálních kořenů.
Příklad
Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání diskriminantu, pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců. :Mějme polynom: p(x)=ax^2 + bx + c, s kořeny x_{1}, x_{2}, kde p(x)=0. +more Potom můžeme psát: : x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} :Pro racionální koeficienty lze někdy pomocí těchto vzorců kořeny uhádnout.
Pro polynom třetího stupně tedy můžeme analogicky psát následující. :Mějme polynom: q(x)=ax^3+bx^2 + cx + d, s kořeny x_{1}, x_{2},x_{3}, kde q(x)=0. +more Potom: : x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}.