Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin

Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin (někdy také označovaná jako Gödelova-Bernaysova teorie množin nebo NBG či GB) je jedním z nejšířeji přijatých a používaných axiomatických systémů teorie množin.

Stejně jako v případě Zermelovy-Fraenkelovy teorie množin nebo Kelleyova-Morseova teorie množin se jedná o (úspěšný) pokus postavit teorii množin a tím i celou moderní matematiku na přísných formálních základech, které zabrání sporům typu Russellova paradoxu.

Historie

První axiomatiku teorie množin s třídami předvedl ve své práci Eine axiomatisierung der Mengenlehre z roku 1925 John von Neumann. Tato axiomatizace se však podstatně liší od dnes obecně uznávané (jazyk této axiomatizace dokonce neobsahuje predikát náležení). +more První axiomatizaci dnešního typu předvedl Paul Bernays ve své práci A system of axiomatic set theory (1937). Jeho myšlenky dokončil roku 1940 Kurt Gödel v článku The consistency of the axiom of choice and of the general continuum hypothesis. Význam tohoto článku však dalekosáhle přesahuje pouhé doladění axiomatizace NBG.

Vztah NBG a ZFC

Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin se z hlediska své síly příliš neliší od poněkud rozšířenější ZF či ZFC (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o axiom výběru) - libovolný výrok o množinách je v NBG dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v ZF - mluvíme tedy o teorii NBG jako o konzervativním rozšíření teorie ZF (říkáme také, že NBG a ZF jsou ekvikonzistentní). +more Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.

Na rozdíl od ZFC, jejímž objektem jsou pouze množiny, zatímco třídy tvoří pomocný konstrukt na úrovni metajazyka, v NBG jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin - na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení - jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu: : Set(X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \isin Y). Někdy se k axiomům NBG přidává ještě takzvaný silný axiom výběru, či axiom silného výběru, výsledná teorie se pak značí NBG+AS. +more Axiom silného výběru lze formálně zapsat následujícím způsobem (axiom silného výběru tedy postuluje, že všechny vlastní třídy mají tutéž mohutnost): : \neg Set(X) \Leftrightarrow ( \| X \| = \| V \|), kde V je třída všech množin - univerzální třída.

Na rozdíl od ZF neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) NBG nekonečný počet axiomů - nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu schématu axiomů nahrazení nebo schématu axiomů vydělení.

Axiomy

Teorie NGB má následující axiomy. Velká písmena v nich označují obecné (třídové) proměnné, mohou tedy zastupovat vlastní třídy i množiny, zatímco malá písmena zastupují výhradně množiny.

* axiom definice množiny: (\exists x)(x=X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \in Y) * axiom existence množiny: (\exist X,Y)(X\in Y) * axiom extenzionality pro třídy: (\forall X,Y)(X=Y \Leftrightarrow (\forall e)(e \in X \Leftrightarrow e\in Y) * schéma existence tříd: (\exists Z)(\forall e)(e\in Z \Leftrightarrow \Phi) kde \Phi je formule v níž jsou kvantifikovány pouze množinové proměnné * axiom dvojice: (\forall x,y)(\exists z)(\forall e)(e \in z \Leftrightarrow (e=x \vee e=y)) * axiom nahrazení: (\forall F)((\forall y,e_1,e_2)(((y,e_1) \in F \land (y,e_2)\in F) \Rightarrow e_1=e_2) \Rightarrow (\forall x)(\exists z)(\forall e)(e\in z \Leftrightarrow (\exists y)(y \in x \land (y,e)\in F)))

Nutno dodat, že schéma existence tříd je možné nahradit konečně mnoha jednotlivými axiomy. V důsledku toho je NBG konečně axiomatizovatelná (na rozdíl od ZF).

Související články

Teorie množin * Zermelova-Fraenkelova teorie množin * Kelleyova-Morseova teorie množin

*