Youngova nerovnost

V matematice, Youngova nerovnost, pojmenovaná podle W. H. Younga, dává do vztahu součin dvou nezáporných čísel a součet jejich mocnin:

Jsou-li a, b \geq 0, p, q \in (1, \infty), p q = p+q, pak

:ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

Důkaz

Pro a = 0 nebo b = 0 je důkaz triviální. Jinak z konkávnosti logaritmu (Jensenova nerovnost) dostáváme, že

:\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b),

což bylo dokázat.

Související články

Duální exponent

Kategorie:Nerovnosti