Cesko.wiki Zobecněná hypotéza kontinua
Author
Albert FloresZobecněná hypotéza kontinua (označovaná často zkratkou GCH z anglického ) je matematická hypotéza z oboru teorie množin, konkrétněji z oboru kardinální aritmetiky.
Formulace hypotézy
Zobecněnou hypotézu kontinua formuloval v roce 1908 Felix Hausdorff v následující podobě:
Pro každé ordinální číslo \alpha \,\! platí:
2^{\aleph_{\alpha}}=\aleph_{\alpha+1}
Zobecněná hypotéza kontinua tedy v podstatě tvrdí, že neexistuje žádná mohutnost mezi kardinálním číslem \aleph_{\alpha} a mohutností jeho potenční množiny P(\aleph_{\alpha}) = 2^{\aleph_{\alpha}}.
Speciálně pro \alpha = 0 \,\. dostáváme 2^{\aleph_0}=\aleph_1, což není nic jiného, než Cantorova hypotéza kontinua (CH), která tvrdí, že nejmenší nespočetnou mohutností je mohutnost kontinua, tj. +more množiny reálných čísel.
Řešení GCH
Kurt Gödel ukázal ve 40. letech 20. +more století, že GCH je bezesporná s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (ZF) - to znamená, že v ZF nelze dokázat její opak. (Přesnější by bylo mluvit o relativní bezespornosti - pokud je bezesporná ZF, pak je bezesporná i ZF obohacená o GCH. ).
K důkazu použil třídy tzv. konstruovatelných množin - jedná se vnitřní model teorie množin (pokud přijmeme navíc axiom konstruovatelnosti - tj. +more předpoklad, že všechny množiny jsou konstruovatelné), ve kterém lze dokázat GCH.
Zajímavým výsledkem z roku 1960 je, že z GCH vyplývá platnost axiomu výběru - to znamená, že teorie vzniklá ze ZF přijmutím GCH je přimejmenším stejně silná, jako ZFC.