Binomické rozdělení

Tři příklady binomického rozdělení. Distribuční funkce odpovídající příkladům nahoře. Binomické rozdělení (někdy též Bernoulliho schéma) popisuje četnost výskytu náhodného jevu v n nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost. Pokud speciálně n=1, jde o alternativní rozdělení.

V matematických textech se můžeme setkat s označením X ~ Bi(n,p) (někde také jako B(n,p)), kde n udává počet pokusů a p udává pravděpodobnost daného jevu.

Rozdělení pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina X s binomickým rozdělením může nabývat celočíselných hodnot od nuly po n.

Pravděpodobnost, že jev nastane právě x-krát z n pokusů při pravděpodobnosti jevu p, je určena rozdělením :P[X=x] = {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x},

kde {n \choose x} je kombinační číslo.

Charakteristiky rozdělení

Binomické rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota binomického rozdělení je :\operatorname{E}(X)=np

Rozptyl je :\operatorname{D}(X) = np(1-p)

Pro koeficient šikmosti dostáváme :\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}

Koeficient špičatosti binomického rozdělení má hodnotu :\gamma_2 = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru :m(z) = {\left[p\mathrm{e}^z + (1-p)\right]}^n

Příklady

Jaká je pravděpodobnost, že při 5 vrzích kostkou padne právě 2× číslo 1?

:n=5, \, x=2, \, p=1/6

:p_2= {5 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(1-\frac{1}{6}\right)^{(5-2)} \approx 0{,}16 = 16\ \%

* Pro n\to\infty a malé pravděpodobnosti, tzn. p\to 0, přechází binomické rozdělení v rozdělení Poissonovo. +more * Pro p blízké \frac{1}{2} lze binomické rozdělení již od n v řádu několika desítek velmi dobře aproximovat normálním rozdělením. * Platí dokonce, že Binomické rozdělení Bi(n,p) lze aproximovat normálním rozdělením N(\mu=np,\sigma^{2}=np(1-p)) pro dostatečně velká n. Důkaz viz odkazy.

Odkazy

Související články

Bernoulliho schéma * Poissonovo rozdělení * Multinomické rozdělení * Binomická věta - podobný vzorec, ale pro n-tou mocninu dvou sčítanců

Externí odkazy

[url=http://www. elektro-energetika. +morecz/calculations/bi. php]Online kalkulátor Binomického rozdělení[/url] * [url=http://mathworld. wolfram. com/BinomialDistribution. html]Důkaz konvergence binomického rozdělení k Normálnímu na stránkách wolframu[/url].

Kategorie:Rozdělení pravděpodobnosti