Difeomorfismus

Technology

12 hours ago

Author

Difeomorfizmus je v matematice zobrazení, které je spojitě diferencovatelné a existuje k němu inverzní zobrazení, které je také spojitě diferencovatelné. Pokud mezi množinami A a B existuje difeomorfizmus, říkáme, že množiny jsou difeomorfní. Definice se používá obvykle buď pro otevřené podmnožiny Eukleidova prostoru \R^n, anebo pro hladké variety, kde je diferencovatelnost zobrazení také dobře definovaný pojem.

Formální definice

Pro variety M a N, je bijekce f z M do N difeomorfizmus pokud jak :f:M\to N tak i inverze :f^{-1}:N\to M jsou diferencovatelné (pokud jsou tyto funkce dokonce r krát spojitě diferencovatelé, f se nazývá C^r-difeomorfmizmus).

Dvě variety M a N jsou difeomorfní, pokud existuje difeomorfizmus :f:M\to N.

Podobně funkce :f : M\to N\, se nazývá lokální difeomorfizmus, pokud pro každý bod x\in M existuje jeho okolí U takové, že f(U) je otevřené v N a :f|_U : U\to f(U)\, je difeomorfizmus.

Příklady

Polární souřadnice (r,\phi) v rovině můžeme chápat jako difeomorfizmus :(0,\infty)\times (-\pi, \pi) \to \R^2\backslash \{(x,0);\,\,x\leq 0\}, definován vzorcem :(r,\phi)\mapsto (x,y)=(r\cos\phi, r\sin \phi). Toto zobrazení má v každém (r,\phi) totální diferenciál, stejně jako inverzní zobrazení. +more * Eukleidovská rovina je difeomorfní sféře bez jednoho bodu, příslušný difeomorfizmus je stereografická projekce.