Cesko.wiki Dělení nulou
Author
Albert FloresDělení nulou je v matematice takové dělení, při němž je dělitel nula. Může být zapsáno jako \frac{a}{0}, kde a je dělenec. V oborech reálných ani komplexních čísel nemá takové dělení smysl - nula je jediné číslo, kterým nelze dělit. V oboru komplexních čísel rozšířených o (komplexní) nekonečno je definováno pro všechny nenulové dělence jako \infty.
Při dělení v plovoucí řádové čárce může být výsledkem speciální hodnota not a number (není číslo) nebo nekonečno.
Interpretace v elementární aritmetice
Když se mluví o dělení na základní úrovni, je často považováno za rozdělování množiny objektů na stejné části. Např. +more: Pokud máme deset kvádrů a rozdělíme je na skupiny po pěti, dostaneme dvě stejně velké části. To by mohla být ukázka toho, že 10/5 = 2. Dělitel je počet kvádrů v každé části a výsledek dělení odpovídá na otázku: „Pokud mám stejné části po 5 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů. “.
Pokud tuto otázku aplikujeme na dělení nulou, otázka „Pokud mám stejné části po 0 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“ nedává smysl, protože přičítáním částí o 0 prvcích se deset kusů nikdy nezíská.
Další metodou, jak popsat dělení nulou, je opakované odečítání. Např. +more: Pokud chceme vydělit číslo 13 pěti, odečteme od 13 dvakrát 5 a dostaneme zbytek 3. Dělitel se odečítá, dokud není zbytek menší než dělitel. V případě, že je dělitel nula, při opakovaném odečítání nuly od dělence nikdy nedosáhneme zbytku menšího než nula.
Rané pokusy
Brahmaguptův spis Brāhmasphuṭa-siddhānta z roku 628 je první, který považoval nulu za normální číslo a definoval operace ji obsahující. Autorovi se ale nepodařilo vysvětlit dělení nulou, jeho definice vede k absurdním algebraickým závěrům. +more Brahmagupta píše:.
Kladné nebo záporné číslo dělené nulou je zlomek se jmenovatelem nula. Nula dělená záporným nebo kladným číslem je buď nula, nebo je vyjádřena jako zlomek s čitatelem nula a konečným množstvím jako jmenovatelem. +more Nula dělená nulou je nula.
Mahavira se v roce 830 neúspěšně pokusil opravit Brahmaguptovu chybu:
Číslo zůstává nezměněno, když je děleno nulou.
Bháskara II. +more se pokusil problém vyřešit definováním \textstyle\frac{n}{0}=\infty. Tato definice dává určitý smysl, ale může vést k paradoxům, pokud se s ní nezachází opatrně.
Např. \textstyle\frac{1}{0}=\frac{2}{0}, což by při odstranění zlomků vycházelo 1=2. To je nesmysl.
Algebraická interpretace
Přirozeným způsobem, jak vyložit dělení nulou, je nejprve definovat dělení pomocí jiných aritmetických operací. Podle standardních pravidel aritmetiky není dělení nulou v oborech přirozených čísel, celých čísel, racionálních čísel, reálných čísel a komplexních čísel (nerozšířených o nekonečno) definováno.
Důvodem je, že dělení je definováno jako inverzní operace k operaci násobení, hodnota \frac{a}{b} je takovým číslem, pro které platí rovnice bx=a. Například
: \frac{6}{3} = 2
vyjadřuje fakt, že číslo 2 je tím číslem, které lze dosadit do výrazu
: ? \cdot 3 = 6.
Avšak v případě
: \frac{6}{0} = ?
neexistuje žádné číslo, kterým by bylo možno nahradit otazník ve výrazu
: ? \cdot 0 = 6,
neboť jakékoli číslo násobené nulou je nula, nikoli šest.
Algebraicky vyjádřeno: pokud b = 0, lze rovnici bx=a zapsat jako 0x = a, tedy prostě 0 = a. V tomto případě tedy rovnice bx = a nemá žádné řešení, pokud a \ne b, a má nekonečně mnoho řešení, pokud a = 0. +more Ani v jednom případě tedy výraz \frac{a}{b} nedává smysl a výsledek dělení nulou tak není definován.
Mylné závěry při dělení nulou
Pokud by bylo nějak definováno dělení nulou, mohlo by dojít k mnoha absurdním výsledkům. Příkladem je falešný důkaz, že 2 = 1, např.:
# Pro každé reálné číslo x platí: #: x^2-x^2=x^2-x^2 # Rozložíme obě strany dvěma různými způsoby #: (x-x)(x+x)=x(x-x) # Vydělíme obě strany výrazem (x - x) (zde je ve skutečnosti dělení nulou, protože x - x = 0) #: (1)(x+x) = x(1) # Což je: #: 2x=x # Protože x může nabývat jakýchkoliv hodnot, dosadíme x=1. #: 2=1
Chybou je v tomto případě předpoklad, že (x-x)/(x-x) (tzn. 0/0) se rovná 1. K podobným nesmyslm vede jakákoliv jiná hodnota přiřazená jako výsledek 0/0.
Limity a dělení nulou
Funkce y = \frac{1}{x} pro x blížící se nule zprava jde k nekonečnu, zatímco pro x blížící se nule zleva jde k minus nekonečnu Na první pohled vypadá možné definovat \frac{a}{0} jako limitu \frac{a}{b} pro b jdoucí k 0.
Pro každé kladné a platí: :\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {+}\infty
Pro každé záporné a platí: :\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {-}\infty
Proto můžeme uvažovat o definování a/0 jako +∞ pro kladné a a -∞ pro záporné a. Nicméně tato definice je nevyhovující ze dvou důvodů.
Zaprvé: Kladné a záporné nekonečno nejsou reálná čísla. Takže pokud chceme zůstat v oboru reálných čísel, nedefinovali jsme nic, co by dávalo smysl. +more Pokud chceme pracovat s takovou definicí, je nutné rozšířit obor reálných čísel.
Zadruhé: Braní limity zprava je čistě libovolné. Stejně tak bychom mohli vzít limitu zleva a definovat \frac{a}{0} jako -∞ pro kladné a a +∞ pro záporné a. +more Toto se dá ilustrovat na rovnici:.
:+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty,
což nedává smysl. To znamená, že jediným fungujícím rozšířením je zavedení nekonečna bez znaménka.
Dále neexistuje žádná zřejmá definice \frac{0}{0}, která by mohla být odvozena za použití limit. Limita : \lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b} neexistuje. +more Limita : \lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)} , kde se f(x) i g(x) blíží 0, když se x blíží 0, může konvergovat k jakékoliv hodnotě nebo nemusí konvergovat vůbec. (Viz též L'Hospitalovo pravidlo. ).
Dělení nulou v počítačích
Kalkulátor TI-86 signalizuje chybu dělení nulou Standard IEEE pro dvojkovou aritmetiku v plovoucí řádové čárce, podporovaný skoro všemi moderními procesory, specifikuje, že každá operace v plovoucí řádové čárce včetně dělení nulou má dobře definovaný výsledek. +more V IEEE 754 je a ÷ 0 kladné nekonečno, pokud je a kladné; záporné nekonečno, pokud je a záporné, a NaN (not a number), pokud a = 0. V IEEE 754 jsou dvě nuly: kladná a záporná; při dělení zápornou nulou jsou ve výsledku opačná znaménka oproti uvedeným výsledkům.
S celočíselným dělením nulou se obvykle zachází jinak, protože neexistuje celočíselná reprezentace takového výsledku. Některé procesory vygenerují výjimku při pokusu o dělení nulou, jiné prostě pokračují a vygenerují nesprávný výsledek dělení (často nulu nebo velké kladné či záporné číslo jako aproximaci nekonečna), případně jde o nedefinované chování.