Forsing

Forsing (používá se též anglický termín ) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.

Princip forsingu

: Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování modelů teorie množin do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model M teorie množin, o kterém díky Löwenheim-Skolemově větě můžeme předpokládat, že je spočetný (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin N rozšiřující M, tj. +more M\subseteq N. V této situaci mohou existovat prvky modelu N, které nejsou prvky M, ale jsou podmnožinami M, tj. taková x, že x\in N\setminus M a x\subseteq M (taková x jsou pak „polomnožinami“ v M). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model M[G] ležící mezi M a N, tj. takový, který obsahuje všechny prvky M a navíc i některé podmnožiny M, které v M neleží, ale leží v N.

Myšlenku konstrukce modelu M[G] lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny M, které v novém modelu M[G] mají být, lze ohodnotit číslem 1 a zbylé množiny číslem 0. +more Protože však předem nevíme, které množiny musí v M[G] být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké Booleovy algebry B\in M. Každé podmnožině M pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota b\in B, která určuje „míru“ jejího náležení do M[G]. Ty množiny, které do M[G] nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého filtru G\in N na B. Přesněji x\in M[G] právě tehdy když je booleovská hodnota x v G.

Konstrukce generických rozšíření

Pro sestrojení rozšíření M[G] k danému modelu M se používá technika booleovských jmen.

Odkazy

Související články

Paul Cohen * Hypotéza kontinua * Model (logika)

Externí odkazy

Timothy Y. Chow: [url=http://arxiv. +moreorg/abs/0712. 1320]A beginner’s guide to forcing[/url] (PDF, PostScript; anglicky), oai:arXiv. org:0712. 1320.

Původní Cohenovy články obsahující důkaz nezávislosti hypotézy kontinua v ZFC: * Paul J. Cohen: [url=http://links. +morejstor. org/sici. sici=0027-8424%2819631215%2950%3A6%3C1143%3ATIOTCH%3E2. CO%3B2-5]The Independence of the Continuum Hypothesis[/url], Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 50, No. 6. (Dec. 15, 1963), pp. 1143-1148. * Paul J. Cohen: [url=http://links. jstor. org/sici. sici=0027-8424%2819640115%2951%3A1%3C105%3ATIOTCH%3E2. CO%3B2-U]The Independence of the Continuum Hypothesis, II[/url], Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 51, No. 1. (Jan. 15, 1964), pp. 105-110.

Literatura

Kategorie:Tvrzení nezávislá na ZF