Funkcionál

Funkcionál je zobrazení, které prvkům nějakého prostoru (například funkcím) přiřazuje číslo. Je speciálním případem operátoru, který zobrazuje do množiny reálných anebo obecně komplexních čísel.

Funkcionály daly jméno jednomu z odvětví matematické analýzy - funkcionální analýze.

Jednoduchým příkladem funkcionálu je zobrazení přiřazující funkci její funkční hodnotu v počátku (Diracova delta distribuce):

:\delta (f) = f(0).

Často je funkcionálem integrál, např.:

:I(f) = \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x.

Příkladem nelineárního funkcionálu je délka křivky:

:l(f) = \int_a^b \sqrt {{1 + f^\prime}^2(x)} \mathrm{d}x.

Funkcionály mají zásadní význam ve fyzice, protože většinu přírodních principů lze definovat tak, že určitý funkcionál nabývá své stacionární hodnoty (většinou extrému). Uveďme např. +more Fermatův princip nejkratšího času, princip nejmenší akce, případně zákon maximálního vlastního času.

Z těchto zákonů lze pomocí Eulerových-Lagrangeových rovnic, jež představují nutnou podmínku pro nabývání extrému funkcionálu, odvodit zákony diferenciální.

Kategorie:Funkcionální analýza