Jedničková matice

Jedničková matice a jedničkový vektor mají všechny prvky rovny jedné. Nesmějí se zaměňovat s jednotkovou maticí \mathbf I a jednotkovými vektory.

Definice a značení

Jedničková matice nad okruhem R s neutrálním prvkem 1 je : \mathbf J_{mn} = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\in R^{m \times n} .

Jedničková matice obsahující pouze z jeden sloupec se nazývá jedničkový vektor. Je-li zřejmé, že jde o čtvercovou matici řádu n, lze psát jen \mathbf J_n, případně indexy zcela vynechat, jsou-li zřejmé nebo nepodstatné. +more Vzhledem k tomu, že jde o dobře definovanou matematickou konstantu bývá značena neskloněným písmem. Jednotkové matice mohou být značeny 1\. \. 1 a podobně.

Ukázky

:\mathbf J_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix};\quad \mathbf J_{33} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix};\quad \mathbf J_{25} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix};\quad \mathbf J_{12} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

Jedničková matice může být také reprezentována součinem jedničkových vektorů: : \mathbf J_{mn} = \mathbf J_{m1} \cdot (\mathbf J_{n1})^\mathrm{T}

Transponovaná matice k jedničkové matice je opět jedničková matice, neboli: : (\mathbf J_{mn})^{\mathrm T} = \mathbf J_{nm}

Jedničková matice \mathbf J_{mn} je neutrálním prvkem v maticovém okruhu (R^{m \times n}, +, \circ), přičemž \boldsymbol A + \boldsymbol B je součet matic a \boldsymbol A \circ \boldsymbol B je Hadamardův součin. Pro všechny matice \boldsymbol A \in R^{m \times n}platí: : \boldsymbol A \circ \mathbf J_{mn} = \mathbf J_{mn} \circ \boldsymbol A = \boldsymbol A .

Hodnost, determinant, stopa

Jedničkové matice \mathbf J nad tělesem T mají následující vlastnosti:

Hodnost matice je rovna jedné : \operatorname{rank} \mathbf J_{mn} = 1 .

Determinant čtvercové jedničkové matice je

: \det \mathbf J_{nn} = \begin{cases} 0 & \text{pro}~n>1, \\ 1 & \text{pro}~n=1. \end{cases}

Stopa reálné nebo komplexní čtvercové matice je : \operatorname{tr}\mathbf J_{nn} = n .

Vlastní čísla a vlastní vektory

Charakteristický polynom reálné nebo komplexní jedničkové matice \mathbf J_{nn} je

: \chi(\lambda) = \lambda^{n-1}(\lambda-n) .

Vlastní čísla jsou

: \lambda_1 = n a \lambda_2 = \ldots = \lambda_n = 0 .

Příslušné vlastní vektory jsou

: (1, \ldots ,1)^{\mathrm T} a (1, -1, 0, \ldots, 0)^{\mathrm T}, \ldots, (0, \ldots, 0, 1, -1)^{\mathrm T} . Minimální polynom \mathbf J je x^2-nx .

Součiny

Součin dvou reálných nebo komplexních jedničkových matic je : \mathbf J_{mn} \cdot \mathbf J_{np} = n \cdot \mathbf J_{mp} .

Výpočet k -té mocniny čtvercové jedničkové matice pro k \geq 1 je dán vztahem : (\mathbf J_{nn})^k = n^{k-1} \mathbf J_{nn} .

Matice \tfrac{1}{n}\mathbf J_{nn} je proto idempotentní, neboli

: \tfrac{1}{n}\mathbf J_{nn} \cdot \tfrac{1}{n}\mathbf J_{nn} = \tfrac{1}{n}\mathbf J_{nn} .

Exponenciála jedničkové matice je

: \exp(\mathbf J_{nn}) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(\mathbf J_{nn})^k}{k!} = \mathbf I_n + \sum_{k=1}^\infty \frac{n^{k-1}}{k!} \mathbf J_{nn} = \mathbf I_n + \frac{e^n-1}{n} \mathbf J_{nn} ,

Reálná i komplexní čtvercová matice \mathbf J je pozitivně semidefinitní.

Aplikace

Jedničková matice se používá v kombinatorice, zvláště v algebraické teorii grafů. Například, je-li \boldsymbol A matice sousednosti neorientovaného grafu G na n vrcholech a \mathbf J je jedničková matice řádu n, pak G je regulární, právě když \boldsymbol {AJ}=\boldsymbol {JA}.

Programování

V numerickém softwarovém balíku MATLAB je jedničková matice generována funkcí ones(m,n).

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Jednotková matice

Kategorie:Matice Kategorie:Matematické konstanty