Cesko.wiki Kofinál
Author
Albert FloresKofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.
Definice
Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy \alpha,\, \beta budou označovat libovolná ordinální čísla a \gamma,\, \delta budou označovat vždy limitní ordinály.
Kofinální podmnožina
Řekneme, že množina A \subseteq \gamma je kofinální podmnožinou \gamma, existuje-li pro každé \alpha \in \gamma takové \beta \in A, že \alpha\, \leq\, \beta. Říkáme také, že A je kofinální s \gamma.
Například * množina A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \} je kofinální podmnožina ordinálu \omega \,+\, \omega. * množina A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \} je kofinální podmnožina ordinálu \delta \cdot \delta. +more * množina A=\{\alef_{\alpha}; \alpha \in \gamma \} je kofinální podmnožina ordinálu \alef_{\gamma} pro každé \gamma\,>\,\omega.
Kofinál a kofinalita
Kofinálem limitního ordinálu \gamma rozumíme nejmenší ordinál \alpha takový, že existuje množina A \subseteq \gamma kofinální s \gamma, jejímž ordinálním typem je \alpha (tj. A je \in-izomorfní s \alpha). +more Kofinál limitního ordinálu \gamma se značí \, cf(\gamma).
Kofinalitou \gamma rozumíme mohutnost (kardinalitu) \, cf(\gamma). Lze ukázat, že pro každé \gamma je \, cf(\gamma) kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.
Například * cf(\omega + \omega) \, = \, \omega * cf(\delta \cdot \delta) = \delta * cf(\alef_{\gamma})\,= \, cf(\gamma) pro každé \gamma\,>\,\omega
Regulární a singulární ordinál
Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.
Vlastnosti
Pro každý limitní ordinál \gamma platí \omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma * Pro každý limitní ordinál \gamma platí cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma). * Pro všechna \gamma je \, cf(\gamma) kardinální číslo. +more Dále za předpokladu axiomu výběru: * Pro každý nekonečný kardinál \kappa platí \kappa\, .