Konvergence v míře

Konvergence v míře je jeden ze dvou různých matematických konceptů, které zobecňují koncept konvergence náhodných proměnných.

Definice

Nechť f, f_n\ (n \in \mathbb N): X \to \mathbb R jsou měřitelné funkce na prostoru s mírou (X, \Sigma, \mu). O posloupnosti f_n řekneme, že konverguje globálně v míře k f, pokud pro každé \varepsilon > 0 platí

:\lim_{n\to\infty} \mu(\{x \in X: |f(x)-f_n(x)|\geq \varepsilon\}) = 0,

a že konverguje lokálně v míře k f, pokud pro každé \varepsilon>0 a každou funkci F \in \Sigma, jejíž míra je konečná (\mu (F) ), platí

:\lim_{n\to\infty} \mu(\{x \in F: |f(x)-f_n(x)|\geq \varepsilon\}) = 0.

Na konečném prostoru s mírou jsou oba pojmy ekvivalentní. Jinak může konvergence v míře znamenat buď globální konvergenci v míře, anebo lokální konvergenci v míře, podle autora.

Vlastnosti

V následujícím textu jsou f a fn (n \in N) měřitelné funkce X → R.

* Globální konvergence v míře implikuje lokální konvergenci v míře. Opak však neplatí; tj. +more obecně lokální konvergence v míře je striktně slabší než globální konvergence v míře. * Pokud však \mu (X) nebo, obecněji, pokud f a všechny fn zanikají mimo nějakou množinu konečné míry, pak rozdíl mezi lokální a globální konvergencí v míře mizí. * Pokud μ je σ-konečná a (fn) konverguje (lokálně nebo globálně) k f v míře, existuje vybraná posloupnost konvergující k f skoro všude. Předpoklad σ-konečnosti není nezbytný pro globální konvergenci v míře. * Pokud μ je σ-konečná, (fn) konverguje k f lokálně v míře právě tehdy, když každá vybraná posloupnost má naopak vybranou posloupnost, která konverguje k f skoro všude. * Konkrétně, pokud (fn) konverguje k f skoro všude, pak (fn) konverguje k f lokálně v míře. Opak neplatí. * Fatouovo lemma a věta o monotonní konvergenci platí, pokud konvergenci skoro všude nahradíme (lokální nebo globální) konvergencí v míře. * Pokud μ je σ-konečná, platí také Lebesgueova věta, pokud konvergenci skoro všude nahradíme (lokální nebo globální) konvergencí v míře. * Pokud X = ⟨a,b⟩ ⊆ R a μ je Lebesgueova míra, pak existuje posloupnost (gn) schodovitých funkcí a spojitých funkcí (hn) konvergujících globálně v míře k f. * Pokud f a fn (n ∈ N) jsou v Lp(μ) pro nějaké p > 0 a (fn) konverguje k f v p-normě, pak (fn) konverguje k f globálně v míře. Opak neplatí. * Pokud fn konverguje k f v míře a gn konverguje k g v míře pak fn + gn konverguje k f + g v míře. Pokud je navíc prostor s mírou konečný, fngn konverguje také k fg.

Protipříklady

Nechť X = \mathbb R, μ je Lebesgueova míra a f konstantní funkce s hodnotou nula.

* Posloupnost f_n = \chi_{\langle n,\infty)} konverguje k f lokálně v míře, ale nekonverguje k f globálně v míře. * Posloupnost f_n = \chi_{\left\langle \frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}\right\rangle } kde k = \lfloor \log_2 n\rfloor a j=n-2^k (Jejích prvních pět členů je \chi_{\left\langle 0,1\right\rangle },\;\chi_{\left\langle 0,\frac12\right\rangle },\;\chi_{\left\langle \frac12,1\right\rangle },\;\chi_{\left\langle 0,\frac14\right\rangle },\;\chi_{\left\langle \frac14,\frac12\right\rangle }) konverguje k 0 globálně v míře; ale pro žádné x nekonverguje fn(x) k nule. +more Tedy (fn) nekonverguje k f skoro všude.

* Posloupnost f_n = n\chi_{\left\langle 0,\frac1n\right\rangle } konverguje k f skoro všude a globálně v míře; nekonverguje však v p-normě pro jakékoli p \geq 1.

Topologie

Existuje topologie, nazývaná topologie (lokální) konvergence v míře, na kolekci měřitelných funkcí z X takových, že lokální konvergence v míře odpovídá konvergenci na této topologii. Tato topologie je definována vztahem rodiny pseudometrik : \{\rho_F : F \in \Sigma,\ \mu (F) kde : \rho_F(f,g) = \int_F \min\{|f-g|,1\}\, d\mu. +more Obecně se můžeme omezit na nějakou podrodinu množin F (místo na všechny podmnožiny konečné míry). Stačí, aby pro každé G\subset X konečné míra a \varepsilon > 0 existovala v rodině funkce F taková, že \mu(G\setminus F) Když \mu(X) , stačí uvažovat pouze jednu metriku \rho_X, takže topologie konvergence v konečné míře je metrizovatelná. Pokud \mu je libovolná míra (konečná nebo nekonečná), pak : d(f,g) := \inf\limits_{\delta>0} \mu(\{|f-g|\geq\delta\}) + \delta stále definuje metriku, která generuje globální konvergenci v míře.

Protože tato topologie je generována rodinou pseudometrik, je uniformizovatelná. Pokud pracujeme s uniformními strukturami místo topologií, můžeme formulovat uniformní vlastnosti jako například Cauchyovskost.

Odkazy

Reference

Literatura

Související články

Prostor konvergence

Kategorie:Teorie míry Míra, konvergence v