Cesko.wiki Konvexní funkce
Author
Albert Floresnáhled Spojitá konvexní funkce na intervalu (a,b), je význačná tím, že její graf leží nad každou její sestrojenou tečnou. Jednoduchou a názornou pomůckou může být představa grafu konvexní funkce na (a,b) jako šálku, do kterého lze nalít kávu. Opačný případ tvoří konkávní funkce. Samotná definice je analyticky odvozena z vlastností funkčních hodnot konvexní funkce vzhledem ke spojnici krajních bodů intervalu konvexnosti. Lze říci, že funkční hodnoty konvexní funkce jsou na intervalu konvexnosti vždy pod spojnicí zmíněných krajních bodů.
Definice
+more_Graf_na_tomto_intervalu_leží_pod_tečnou. _Zbylá_červená_křivka_označuje_konvexní_část_a_její_graf_leží_nad_tečnou|vpravo|300px'>náhled Definici konvexnosti funkce lze rozdělit na definici konvexnosti funkce a speciálního případu - ryzí konvexnosti funkce. Většinu elementárních funkcí lze však považovat za ryze konkávní respektive ryze konvexní. Příkladem mohou být polynomy.
Definice ryze konvexní funkce
Nechť f je funkce spojitá na intervalu (a,b). Pak říkáme, že funkce f je na intervalu (a,b) ryze konvexní právě tehdy, když pro libovolné číslo \lambda\in(0,1) s vlastností
\forall x,y\in(a,b),x
Definice konvexní funkce
Nechť f je funkce spojitá na intervalu (a,b). Pak říkáme, že funkce f je na intervalu (a,b) konvexní právě tehdy, když pro libovolné číslo \lambda\in(0,1) s vlastností
\forall x,y\in(a,b),x
Intervaly konvexnosti
Při hledání intervalů, na kterých je funkce konvexní se postupuje pomocí druhé derivace funkce. Intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce dělí inflexní body. +more V těchto bodech funkce mění zakřivení. Funkce je proto ryze konvexní na intervalu, kde f(x)>0. Analogicky se odvodí pravidlo pro interval konvexní funkce f(x)\geq0. Daná derivace musí existovat. To, že funkce je diferencovatelná nevyplývá přímo z podmínky spojitosti zkoumané funkce, proto je třeba přidat podmínku diferencovatelnosti.
