Kovarianční matice

Kovarianční matice (anebo variančně-kovarianční matice) reálné vícerozměrné náhodné veličiny \mathbf{X} o n složkách je čtvercová reálná matice \operatorname{\Sigma} o rozměru n \times n, jejíž prvek s indexy i, j obsahuje kovarianci i-té a j-té složky náhodné veličiny \mathbf{X}. Lze tedy napsat:

\operatorname{\Sigma} = \operatorname{cov}[\mathbf{X},\mathbf{X}] = \operatorname{E}[(\mathbf{X}-\mathbf{\mu_X})(\mathbf{X}-\mathbf{\mu_X})^{\rm T}]= \operatorname{E}[\mathbf{X} \mathbf{X}^T] - \mathbf{\mu_X}\mathbf{\mu_X}^T,

kde \mathbf{\mu_X} je vektor středních hodnot složek \mathbf{X} a \operatorname{E} je operátor střední hodnoty. Protože kovariance nezáleží na pořadí náhodných veličin, které do ní vstupují, je kovarianční matice symetrická. +more Na její hlavní diagonále jsou rozptyly jednotlivých složek náhodné veličiny. Kovarianční matice je vždy pozitivně semidefinitní.

Kovarianční matice úzce souvisí s korelační maticí veličiny \mathbf{X}. Korelační matice se dá spočítat jako kovarianční matice standardizované náhodné veličiny, u níž jsou jednotlivé složky vyděleny jejich směrodatnými odchylkami: X_i/\sigma(X_i) pro i = 1, \dots, n.

Kategorie:Matematická statistika