Cesko.wiki Kvartická rovnice
Author
Albert FloresKvartická rovnice je algebraická rovnice čtvrtého stupně o jedné neznámé. Lze ji vyjádřit v obecném tvaru :ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e = 0\,, kde a\ne 0.
U kvartických rovnic se používá následující terminologie:
* ax^4 - kvartický člen * bx^3 - kubický člen * cx^2 - kvadratický člen * dx - lineární člen * e - absolutní člen
Bikvadratická rovnice
Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar :ax^4 + bx^2 + c = 0\,
Řešení bikvadratické rovnice
Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce z = x^2, čímž vznikne kvadratická rovnice :az^2 + bz + c = 0\, Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru :z_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\, Toto řešení použijeme pro získání hodnot x, které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí :x_{1,2} = \pm\sqrt{z_1} :x_{3,4} = \pm\sqrt{z_2}
Obecné řešení kvartické rovnice
Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná algebraicky ("v radikálech", tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). +more Jako první nalezl řešení Ital Lodovico Ferrari v polovině 16. století, veden svým učitelem Girolamem Cardanem. Dnes existuje více metod řešení, např. následující postup Reného Descarta.
1. Obecnou kvartickou rovnici
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0.
Normujeme, tj. vydělíme rovnici vedoucím koeficientem a \ne 0 a získáme rovnici s vedoucím koeficientem 1:
x^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E = 0
2. Zbavíme se kubického členu substitucí (posunutí proměnné)
x = y - \frac{B}{4}
a rovnice získá tzv. redukovaný tvar:
y^4 + py^2 + qy + r = 0 \qquad\qquad(1)
3. Rozložíme čtyřčlen na dva (normované) kvadratické trojčleny. Označme koeficienty K,L, M, N. Má tedy platit:
y^4 + Py^2 + Qy + R = (y^2 + Ky + L)(y^2 + My + N).
Aby rovnost mnohočlenů platila, musí mít stejné koeficienty, což zjistíme roznásobením:
K + M = 0.
KM + L + N = p
KN + LM = q
LN = r
4. První nejjednodušší lineární rovnice M=-K je důsledkem požadavku na vymizení kubického členu. Dosadíme za M do následujících rovnic
-K^2+L+N = p,
KN - KL = q,
LN = r.
5. První dva z těchto vztahů ještě upravíme, aby vlevo zůstaly jen neznámé L, N:
L + N = p + K^2,
L - N = -\frac{q}{K},
LN = r.
6. Následuje nejsložitější obrat. Zaměříme se nyní na neznámé L, N. Pro součet, rozdíl a součin dvou libovolných čísel X, Y platí vztah
(X + Y)^2 - (X - Y)^2 = 4XY,
který použijeme na neznámé L a N v rovnicích 5. kroku:
(p + K^2)^2-(-\frac{q}{K})^2=4r.
7. Rovnici pro jedinou neznámou K snadno upravíme:
K^6 + 2pK^4 + K^2(p^2 - 4r) - q^2 = 0
8. Rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé K. Substitucí s=K^2 získáme kubickou rovnici, tzv. kubickou resolventu
s^3 + 2ps^2 + (p^2 - 4r)s - q^2 = 0,
kterou vyřešíme.
9. Zjistili jsme neznámou s a tedy i K. Po dosazení číselné hodnoty K do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty L, N. Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů
(y^2 + Ky + L)(y^2 - Ky + N) = 0.
10. Kořeny y_{1,2} získáme vyřešením kvadratické rovnice y^2 + Ky + L = 0, zatímco kořeny y_{3,4} vyřešením kvadratické rovnice y^2 - Ky + N = 0.
11. Známe-li kořeny y_{1,2,3,4}, pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice x_{1,2,3,4}.
Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.
Např. rovnici x^4 + 6x^3 - x - 6 = 0 lze snadno rozložit na (x + 6)(x^3 - 1) = 0, popř. ještě dál na: (x + 6)(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0, a tak uhodnout z hlavy kořeny x_{1} = -6, x_{2} = 1 .
Obrázky
Vzorce, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1).
Soubor:Reseni rovnice Y1. jpg|první ze čtyř řešení kvartické rovnice Soubor:Reseni rovnice Y2. +morejpg|druhé ze čtyř řešení kvartické rovnice Soubor:Reseni Y3. jpg|třetí ze čtyř řešení kvartické rovnice Soubor:Reseni Y4. jpg|čtvrté ze čtyř řešení kvartické rovnice.
Ještě složitější vzorce by vycházely pro normovaný tvar kvartické rovnice.
Související články
Externí odkazy
[url=http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html]Quartic Equation[/url]