Lineární interpolace

Lineární interpolace je v geometrii metoda prokládání křivek za použití lineárních mnohočlenů. Této metody se často využívá v matematice (konkrétně v numerické analýze) a v početních aplikacích včetně počítačové grafiky. Jedná se o jednoduchou formu interpolace.

Lineární interpolace mezi dvěma známými body.

Jsou dány dva červené body, modrá úsečka lineární interpolace mezi těmito body a hodnoty x a y nalezneme pomocí lineární interpolace. +more Pokud jsou dány dva známé body souřadnicemi \scriptstyle(x_0,y_0) a \scriptstyle(x_1,y_1), lineární interpolace je přímka mezi těmito dvěma body. Pro hodnotu x je interval \scriptstyle(x_0, x_1). Hodnota y podél přímky je dána rovnicí.

:\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{y - y_0}{x - x_0}

která může být odvozena geometricky z obrázku:

Vyřešením této rovnice pro y, která je neznámou v rovnici pro x dostaneme:

y = y_0 + (x- x_0)\frac{y_1 - y_0}{x_1-x_0}

Což je vzorec pro lineární interpolaci v intervalu \scriptstyle(x_0,x_1) mimo tento interval je vzorec shodný s lineární extrapolací.

Interpolace a skupina dat

Skupina dat lineární interpolace (červené body) se skládá z částí lineárních spojovatelů (modré čáry). +more Lineární interpolace je skupina referenčních bodů \scriptstyle(x_0, y_0),\, (x_1, y_1),\,\dots,\,(x_n, y_n) je definována jako spojení lineárních interpolantů mezi každou dvojicí referenčních bodů. Výsledkem je nesouvisle odvozená souvislá křivka.

Lineární interpolace a přiblížení

Lineární interpolace se často používá k zjištění přibližné hodnoty nějaké funkce f za použití dvou známých hodnot této funkce v jiných bodech. Odchylka této přibližné hodnoty je definována jako:

:R_T = f(x) - p(x) \,\!

P označuje lineární mnohočlennou interpolaci definovanou výše

:p(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0). \,\!

Toto může být dokázáno užitím Rolleho věty, která za podmínky, že f má spojitou derivaci, je odchylka ohraničena:

:|R_T| \leq \frac{(x_1-x_0)^2}{8} \max_{x_0 \leq x \leq x_1} |f(x)|. \,\!

Jak můžete vidět, přiblížení mezi dvěma body dané funkce s druhou derivací funkce, která je zaokrouhlená (přibližná). To je také intuitivně správně, čím více se funkce kroutí, tím hůře se dělá zaokrouhlení s jednoduchou lineární interpolací.

Skupina dat lineární interpolace (červené body) se skládá z částí lineárních spojovatelů (modré čáry)

Užití

Lineární interpolace je často používána pro zaplnění mezer v tabulce. Předpokládejme, že máme tabulku seřazující populaci nějaké země v roce 1970, 1980, 1990 a 2000 a chcete odhadnout populaci v roce 1984. +more Lineární interpolace je k tomu snadná cesta. Základní operace lineární interpolace mezi dvěma hodnotami je tak běžně používána v počítačové grafice, že se jí někdy říká „lerp“ (zkratka ) v místní hantýrce. Tento termín se užívá jako podstatné jméno i sloveso pro operaci jako například Bresenhamův algoritmus „lerps“ (lineárně interpoluje) přípustkově mezi 2 koncovými body přímky.

Operace lineární interpolace jsou vestavěny v hardwaru všech moderních počítačových grafických karet. Jsou často použity jako stavební blok pro komplexnější operace např. +more bilineární interpolace může být zhotovená ve dvou lineárních interpolacích. Protože je tato operace nenáročná. Je to dobrá možnost pro vytvoření přesných vyhledávacích tabulek s rychlým vyhledáváním pro hladké funkce bez přílišného počtu položek v tabulce.

Historie

Lineární interpolace se používala už od starověku, pro zaplnění mezer v tabulkách, často s astronomickými daty. Věří se, že se používala v posledních třech stoletích př. +more n. l. a také řeckým matematikem a astronomem Hipparchem (2. století př. n. l. ). Popis lineární interpolace může být nalezen v Algamestu 2. stol. n. l. ) u Ptolemaia.

Nadstavby

V některých situacích není lineární interpolace dostatečná. V tomto případě může být nahrazena polynomiální interpolací, či kubickou interpolací. +more Lineární interpolace může rovněž být rozšířena na bilineární interpolaci pro interpolaci funkcí o dvou proměnných. Bilineární interpolace se často používá jako surový filtr pro potlačení roztřepených čar. Podobně trilineární interpolace se používá k interpolaci funkcí o třech proměnných. Další rozšíření lineární interpolace se používají pro jiné typy smyček (očí) jako například trojhranná nebo čtyřboká smyčka.

Reference

Kategorie:Numerická matematika

Lineare Interpolation